Study of the trajectories of the primitive of Brownian motion

Étude des trajectoires de la primitive du mouvement brownien

Aimé Lachal (1, 2, 3)

1 INSA Lyon - Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
2 PSPM - Probabilités, statistique, physique mathématique
3 Pôle de mathématiques

In this work we gather several results we obtained on the behavior of the integral of linear Brownian motion, and more particularly on the various distributions related to the first passage times of the trajectories by fixed thresholds. For instance, we were able to explicitly determine the joint law of the couple made up of the first passage time of the integrated process by a fixed point and of the related location of Brownian motion. We retrieved in particular the marginal laws of this couple discovered by M. Goldman (1971) and Ju. P. Gor'kov (1975), as well as the law of the first return time to the origin obtained by H.P. McKean (1963). This result enabled us to resolve several open problems. In particular, we obtained the distributions of several functionals associated with the integral of Brownian motion: successive passage times, last passage time, sojourn time, excursions... We next studied the location of the primitive of Brownian motion when this latter reaches a single or double barrier. Such functionals naturally arise in some optimization problems studied by M. Lefèbvre (1989). A new approach enabled us to find and improve its results. We finally derived the distribution of certain functionals related to the integral of Brownian motion, this latter being subjected to a parabolic or cubic drift. We retrieved in particular a result of P. Groeneboom (1989) concerning Brownian motion with a parabolic drift. An exhibition of some still open problems completes this work.

Dans ce travail nous rassemblons l'essentiel des résultats que nous avons obtenus sur le comportement de l'intégrale du mouvement brownien linéaire, et plus particulièrement sur les différentes distributions associées aux premiers instants de passage des trajectoires par des seuils fixés. Ainsi nous avons pu déterminer explicitement la loi conjointe du couple constitué du premier instant de passage du processus «primitive» par un point fixé et de la position occupée par le mouvement brownien à cet instant. On retrouve en particulier les lois marginales de ce couple découvertes par M. Goldman (1971) et Ju. P. Gor'kov (1975), ainsi que la loi du premier instant de retour à l'origine obtenue par H.P. McKean (1963). Ce résultat nous a permis de débloquer plusieurs problèmes ouverts. Nous obtenons ainsi les distributions de plusieurs fonctionnelles associées à l'intégrale du mouvement brownien : temps de passage successifs, dernier instant de passage, temps de séjour, excursions... Nous étudions ensuite la position de la primitive du mouvement brownien lorsque ce dernier atteint une barrière simple ou bilatère. Ce type de fonctionnelle apparaît naturellement dans certains problèmes d'optimisation étudiés par M. Lefèbvre (1989). une nouvelle approche nous a permis de retrouver et d'améliorer ses résultats. Nous explicitons finalement la distribution de certaines fonctionnelles relatives à l'intégrale du mouvement brownien lorsque cette dernière est soumise à une dérive parabolique ou cubique. On retrouve en particulier un résultat de P. Groeneboom (1989) concernant le mouvement brownien avec dérive parabolique. Une description de quelques problèmes restant encore ouverts termine ce travail.

Mots clés: Integrated Brownian motion; passage times; sojourn times; excursions; special functions

Mots clés: Intégrale du mouvement brownien; temps de passage; temps de séjour; excursions; fonctions spéciales

Domaines: Probabilités [math.PR]; Statistiques [math.ST]; Histoire et perspectives sur les mathématiques [math.HO]

Aimé Lachal. Étude des trajectoires de la primitive du mouvement brownien. Probabilités [math.PR]. Université Lyon 1 - Claude Bernard, 1992. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02924274⟩