Decay in $W^{1,\infty}$ for the 1D semilinear damped wave equation on a bounded domain
Décroissance en $ W ^ {1, \ infty} $ pour l'équation d'onde amortie semi-linéaire 1D sur un domaine borné
Résumé
In this Ph.D. thesis, we study a semilinear wave equation with nonlinear and time-dependent damping term.
After rewriting the equation as a first order system, we define a class of approximate solutions employing typical tools of hyperbolic systems of conservation laws, such as the Riemann problem. We prove that the initial-boundary value problem is well-posed for initial data in $L^\infty$ space.
By recasting the problem as a discrete-time nonhomogeneous system, which is related to a probabilistic interpretation of the solution, we provide a strategy to study its long-time behavior uniformly with respect to the mesh size parameter $\DX=1/N\to 0$.
The proof makes use of the Birkhoff decomposition of doubly stochastic matrices and of accurate estimates on the iteration system as $N\to\infty$.
Under appropriate assumptions on the nonlinearity, we prove the exponential convergence in $L^\infty$ of the solution to the first order system towards a stationary solution, as $t\to+\infty$, as well as uniform error estimates for the approximate solutions.
Dans ce doctorat. thèse, nous étudions une équation d'onde semi-linéaire avec un terme d'amortissement non linéaire et dépendant du temps.
Après avoir réécrit l'équation comme un système de premier ordre, nous définissons une classe de solutions approchées employant des outils typiques de systèmes hyperboliques de lois de conservation, comme le problème de Riemann. Nous montrons que le problème de la valeur de la limite initiale est bien posé pour les données initiales dans l'espace $ L ^ \ infty $.
En refondant le problème comme un système non homogène à temps discret, qui est lié à une interprétation probabiliste de la solution, nous proposons une stratégie pour étudier son comportement à long terme de manière uniforme par rapport au paramètre de taille de maillage $ \ DX = 1 / N \ à 0 $.
La preuve utilise la décomposition de Birkhoff de matrices doublement stochastiques et d'estimations précises sur le système d'itération comme $ N \ to \ infty $.
Sous des hypothèses appropriées sur la non-linéarité, nous prouvons la convergence exponentielle en $ L ^ \ infty $ de la solution au système du premier ordre vers une solution stationnaire, comme $ t \ to + \ infty $, ainsi que des estimations d'erreur uniformes pour l'approximée solutions.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
Loading...