Plongements homogènes de SL2(C) modulo un sous-groupe fini. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2000

homogeneous embeddings of SL2(C) modulo a finite sub-group.

Plongements homogènes de SL2(C) modulo un sous-groupe fini.

Gilles Bousquet
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1074731

Résumé

L'objet de ce travail est l'étude des variétés algébriques normales complexes munies d'une action algébrique de $SL_{2}$ et qui contiennent $SL_{2}/H$ comme orbite ouverte, $H$ étant un sous-groupe fini de $SL_{2}$. Plus précisément on définit un plongement homogène de $SL_{2}/H$ comme la donnée d'une $SL_{2}$-variété irréductible $X$ (quasi-projective ou non) contenant $SL_{2}/H$ comme orbite ouverte et d'un morphisme $SL_{2}$-équivariant de $SL_{2}$ dans $X$. Les plongements homogènes lisses ainsi que les plongements minimaux (plongements lisses et complets qui ne sont pas des éclatements d'un autre plongement lisse complet) de $SL_{2}/\{Id\}$ et de $SL_{2}/\{\pm Id\}$ ont été déterminés par Lucy Moser dans sa thèse dans le cadre de la classification de Luna-Vust de tous les plongements homogènes normaux de $SL_{2}/H$. L'objet du présent travail est de compléter ces résultats en déterminant les plongements homogènes lisses de $SL_{2}/H$ et les plongements minimaux pour les sous-groupes finis $H$ de $SL_{2}$ autres que $\{Id\}$ et $\{\pm Id\}$. Dans le cas particulier des plongements minimaux projectifs on retrouve les résultats de Tetsuo Nakano. En utilisant des résultats d'Alessandra Iozzi et Jonathan Poritz sur la normalité de la fermeture d'une $SL_{2}$-orbite quelconque de $\left(\mathbb{P}^{1}\right)^{n}$ et sur le groupe de ses $SL_{2}$-automorphismes on donne une description géométrique différente de celle de Nakano pour certains des plongements minimaux projectifs. Plus généralement on décrit de cette façon tous les plongements projectifs de $SL_{2}/H$, $H$ d'ordre pair, qui contiennent exactement une orbite de dimension 1. On établit un critère de quasi-projectivité pour un plongement homogène quelconque de $SL_{2}/H,$ critère qui permet en particulier de vérifier l'existence d'un plongement minimal non projectif dans le cas $H$ cyclique.
The subject of this thesis is the study of normal algebraic varieties over $\mathbb{C}$ endowed with an action of $Sl_{2}$ and containing, for this action, an open orbit isomorphic to $SL_{2}/H$ , $H$ a finite subgroup of $SL_{2}$. More precisely, for a finite subgroup $H$ of $SL_{2}$, we define an embedding of $SL_{2}/H$ by the following data : a normal irreductible $SL_{2}$-variety (quasi-projective or not), an open orbit isomorphic to $SL_{2}/H$ and a given point $e$ in this orbit with isotropy group $H.$ In the framework of the Luna-Vust theory of normal embeddings of $G/H$, $G$ reductive, Lucy Moser in her thesis gave all embeddings with smooth underlying variety $X$ and the list of minimal embeddings (smooth and complete embeddings which are not blown-up of another smooth complete embeddings) in the cases $H=\{Id\}$ and $\{\pm Id\}$. In this work we complete the results of L.Moser by giving the smooth (respectively minimal) embeddings of $SL_{2}/H$ for every finite subgroup $H$ of $SL_{2}$. In the case of minimal projective embeddings we recover the list of minimal embeddings given by Tetsuo Nakano. Moreover, using results of Alessandra Iossi and Jonathan Poritz on the closure of an $SL_{2}$-orbit in $(\mathbb{P}^{1})^{n},$ we are able to give a different geometric realization of certain minimal projective embeddings. More generally we describe in this way all the projective embeddings of $SL_{2}/H$, $H$ of even order, with exactly one dimension 1 orbit. Using a result of T.A Timashev we prove a criteria for the quasi-projectivity of an embedding of $SL_{2}/H$. This criteria shows the existence of a non projective minimal embedding in the case when $H$ is cyclic.
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Dates et versions

tel-02899185 , version 1 (27-07-2020)

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  • HAL Id : tel-02899185 , version 1

Citer

Gilles Bousquet. Plongements homogènes de SL2(C) modulo un sous-groupe fini.. Géométrie algébrique [math.AG]. Université de Bourgogne (UB), Dijon, FRA., 2000. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02899185⟩
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