, Pour trouver les principales caractéristiques, il a été choisi d'effectuer une SPOD (Spectral Proper Orthogonal Decomposition), c'est-à-dire trouver les vecteurs propres ? et valeurs propres ? de la matrice CSD (pour notre cas, uniquement P 1,?p ) vérifiant l'équation : P 1

, Par sa construction, notre matrice CSD est hermitienne car elle est égale à sa matrice transconjuguée. Cette propriété permet d'affirmer que cette matrice possède des valeurs propres réelles. Pour notre étude, elles seront calculées à l'aide de l'algorithme QR. Les valeurs propres de la matrice P 1

, La première valeur propre possède 92% de l'énergie de l'ensemble des modes. Ceci montre que le vecteur propre associé est représentatif de l'organisation spatiale à cette fréquence

, Le mode SPOD associé à la première valeur propre est présenté en figure 5.3. Sa signature

, Pour l'écoulement à l'intérieur de la tuyère présentée en figure 5.14, la propagation des paquets d'onde se fait vers l'aval que ce soit dans la zone subsonique, l'anneau supersonique ou la zone décollée, ce qui confirme l'évaluation de la vitesse de phase dans le Chapitre 4. Pour l'écoulement à l'extérieur de la tuyère présenté en figure 5.15, nous avons toujours la propagation vers l'aval des paquets d'onde de l'anneau supersonique qui s'étale un peu dans les poches en 2 disques de Mach. Par contre, les paquets d'ondes à l'extérieur de cet anneau se propagent vers l'amont tout le long du jet jusqu'à la sortie de la tuyère où elles sont "stoppées" par les ondes dans la zone décollée de la tuyère qui se propagent vers l'aval. Il est aussi remarqué que la vitesse des paquets d'onde se, Pour voir l'évolution temporelle de ce mode SPOD, une animation est réalisée avec la partie réelle de ? 1,?p e ?i?pt

, négatifs représentent les paquets d'ondes se propageant vers l'amont. Dans la région des k positifs, les valeurs maximales de la densité spectrale sont atteintes à k = 4.91 correspondant à une longueur d'onde de x/L = 1.28. Ce pic reste important à toutes les positions radiales. La valeur de k correspond bien à la longueur d

, Nous allons nous attarder sur la plus importante située à k = ?9.82 correspondant à une longueur d'onde de x/L = 0.64. En effet, la valeur de k correspond bien à la taille du paquet d'ondes se déplaçant vers l

, La densité spectrale du premier mode SPOD du mode azimutal m=1 du champ de pression à

, 82 est présentée en figure 5.17. La courbe de k positif se présente comme une bosse dont le sommet est atteint à r/D = 0.215 qui est la position radiale entre les 2 couches de mélange. La courbe à k négatif présente un creux vers r/D = 0.3 correspondant à la position de la couche de mélange externe. L'élément important à retenir est que la courbe de k négatif n'est supérieur à la courbe de k positif qu'à r/D supérieur à 0.445. C', St = 0.2 en fonction du rayon à k = 4.91 et k = ?9

, Les tuyères opérant en régime sur-détendu subissent des charges latérales importantes

, Nous nous sommes focalisés en particulier sur la configuration dans laquelle les mécanismes de résonances présents dans les travaux expérimentaux apparaissent. Pour cela, d'une part, des données expérimentales sont issues d'une campagne réalisée récemment au sein de l'Institut Pprime. Elle comporte une mesure de la pression pariétale via 3 couronnes de 6 capteurs de pression synchronisée avec des mesures de champs de vitesse dans 4 plans orthogonaux par PIV-stéréo, Ceci est dû à la dynamique de l'écoulement et à son asymétrie. En général, les efforts de pression possèdent un comportement chaotique. Dans le cas d'un régime de décollement libre (FSS)

, Les données expérimentales pour le cas M j = 2.27 confirment la présence d'un faible pic à

, De plus, ce pic est aussi visible dans la densité spectrale du mode azimutal m=1 du champ de vitesse axiale et plus particulièrement dans la zone de la couche de mélange. Mais le calcul de cohérence entre les deux signaux n'a pas montré de valeurs significatives, Les simulations numériques pour ce même cas ont réussi à reproduire les bonnes valeurs statistiques. Cependant, elles n'ont pas réussi à reproduire la dynamique du jet. Il faut souligner que cette fluctuation organisée est très faible à ce M j ce qui rend sa prédiction assez compliqué

. Bibliographie,

J. Östlund, Flow processes in rocket engine nozzles with focus on flow separation and sideloads, 2002.

S. Deck and P. Guillen, Numerical simulation of side loads in an ideal truncated nozzle, Journal of Propulsion and Power, vol.18, issue.2, pp.261-269, 2002.

A. T. Nguyen, H. Deniau, S. Girard, and A. , Unsteadiness of flow separation and endeffects regime in a thrust-optimized contour rocket nozzle. Flow, Turbulence and Combustion, vol.71, pp.161-181, 2003.

V. Jaunet, S. Arbos, G. Lehnasch, and S. Girard, Wall pressure and external velocity field relation in overexpanded supersonic jets, AIAA Journal, vol.55, issue.12, pp.4245-4257, 2017.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02339512

A. Powell, On the mechanism of choked jet noise, Proceedings of the Physical Society. Section B, vol.66, issue.12, p.1039, 1953.

C. K. Tam, J. M. Seiner, and Y. J. , Proposed relationship between broadband shock associated noise and screech tones, Journal of sound and vibration, vol.110, issue.2, pp.309-321, 1986.

M. L. Norman, K. A. Winkler, L. Smarr, and M. D. Smith, Structure and dynamics of supersonic jets, Astronomy and Astrophysics, vol.113, pp.285-302, 1982.

G. Guderley and E. Hantsch, Beste formen für achsensymmetrische überschallschubdüsen, Z. Flugwiss, vol.3, issue.9, pp.305-313, 1955.

G. V. Rao, Exhaust nozzle contour for optimum thrust, Journal of Jet Propulsion, vol.28, issue.6, pp.377-382, 1958.

M. Frey and G. Hagemann, Status of flow separation prediction in rocket nozzles, AIAA paper, vol.3619, 1998.

A. Yaravintelimath, B. N. Raghunandan, and J. A. Morinigo, Numerical prediction of nozzle flow separation : Issue of turbulence modeling, Aerospace Science and Technology, vol.50, pp.31-43, 2016.

M. Summerfield, C. R. Foster, and W. Swan, Flow separation in overexpanded supersonic exhaust nozzles, 1954.

A. Shams, G. Lehnasch, P. Comte, H. Deniau, A. De-roquefort et al., Unsteadiness in shock-induced separated flow with subsequent reattachment of supersonic annular jet, Computers & Fluids, vol.78, pp.63-74, 2013.

L. H. Nave and G. A. Coffey, Sea level side loads in high-area-ratio rocket engines, 1973.

E. Martelli, F. Nasuti, and M. Onofri, Numerical calculation of fss/rss transition in highly overexpanded rocket nozzle flows, Shock Waves, vol.20, issue.2, pp.139-146, 2010.

W. J. Baars, C. E. Tinney, J. H. Ruf, A. M. Brown, and D. M. Mcdaniels, Wall pressure unsteadiness and side loads in overexpanded rocket nozzles, AIAA journal, vol.50, issue.1, pp.61-73, 2012.

S. Deck, Delayed detached eddy simulation of the end-effect regime and side-loads in an overexpanded nozzle flow, Shock waves, vol.19, issue.3, pp.239-249, 2009.

G. E. Dumnov, Unsteady side-loads acting on the nozzle with developed separation zone, 32nd Joint Propulsion Conference and Exhibit, pp.96-3220, 1996.

A. A. Aghababaie and R. Theunissen, Modeling free shock separation induced side loads in overexpanded rocket nozzles, AIAA Journal, vol.53, issue.1, 2015.

A. L. Kistler, Fluctuating wall pressure under a separated supersonic flow, The Journal of the Acoustical Society of America, vol.36, issue.3, pp.543-550, 1964.

J. Dussauge and S. Piponniau, Shock/boundary-layer interactions : Possible sources of unsteadiness, Journal of Fluids and Structures, vol.24, issue.8, pp.1166-1175, 2008.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01454901

S. Piponniau, J. Dussauge, J. Debieve, and P. Dupont, A simple model for low-frequency unsteadiness in shock-induced separation, Journal of Fluid Mechanics, vol.629, pp.87-108, 2009.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01454909

A. Hadjadj, Large-eddy simulation of shock/boundary-layer interaction, AIAA journal, vol.50, issue.12, pp.2919-2927, 2012.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02082367

N. T. Clemens and V. Narayanaswamy, Low-frequency unsteadiness of shock wave/turbulent boundary layer interactions, Annual Review of Fluid Mechanics, vol.46, pp.469-492, 2014.

G. L. Brown and A. Roshko, On density effects and large structure in turbulent mixing layers, Journal of Fluid Mechanics, vol.64, issue.4, pp.775-816, 1974.

C. D. Winant and F. K. Browand, Vortex pairing : the mechanism of turbulent mixing-layer growth at moderate reynolds number, Journal of Fluid Mechanics, vol.63, issue.2, pp.237-255, 1974.

W. Blumen, Shear layer instability of an inviscid compressible fluid, Journal of Fluid Mechanics, vol.40, issue.4, pp.769-781, 1970.

D. Papamoschou and A. Roshko, Observations of supersonic free shear layers, Sadhana, vol.12, issue.1-2, pp.1-14, 1988.

N. D. Sandham and R. W. , Compressible mixing layer-linear theory and direct simulation, AIAA journal, vol.28, issue.4, pp.618-624, 1990.

J. B. Freund, S. K. Lele, and P. Moin, Compressibility effects in a turbulent annular mixing layer. part 1. turbulence and growth rate, Journal of Fluid Mechanics, vol.421, pp.229-267, 2000.

N. T. Clemens and M. Mungal, Large-scale structure and entrainment in the supersonic mixing layer, Journal of Fluid Mechanics, vol.284, pp.171-216, 1995.

H. Gropengiesser, Study on the stability of boundary layers and compressible fluids(stability of free boundaries or shear layers observed in jet flows and in wakes of blunt bodies), 1970.

C. Pantano and S. Sarkar, A study of compressibility effects in the high-speed turbulent shear layer using direct simulation, Journal of Fluid Mechanics, vol.451, pp.329-371, 2002.

P. J. Ferrer, G. Lehnasch, and A. Mura, Compressibility and heat release effects in highspeed reactive mixing layers i. : Growth rates and turbulence characteristics, Combustion and Flame, vol.180, pp.284-303, 2017.

S. Sarkar, The stabilizing effect of compressibility in turbulent shear flow, Journal of Fluid Mechanics, vol.282, pp.163-186, 1995.

R. Westley and J. Wooley, Flow and sound visualization of an axisymmetric choked jet (10 in schlieren),(16 mm, silent film, running time 8.5 min), Natl Res. Counc. Can., Natl Aeronaut. Establishment, p.13, 1968.

J. Panda, Shock oscillation in underexpanded screeching jets, Journal of Fluid Mechanics, vol.363, pp.173-198, 1998.

J. Panda, An experimental investigation of screech noise generation, Journal of Fluid Mechanics, vol.378, pp.71-96, 1999.

R. Westley and J. Woolley, The near field sound pressures of a choked jet when oscillating in the spinning mode, 2nd Aeroacoustics Conference, p.479, 1975.

Y. Umeda and R. Ishii, Sound sources of screech tone radiated from circular supersonic jet oscillating in the helical mode, International journal of aeroacoustics, vol.1, issue.4, pp.355-384, 2002.

R. Lárusson, H. E. Hafsteinsson, N. Andersson, and L. Eriksson, Investigation of supersonic jet flow using modal decomposition, 20th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, p.3312, 2014.

K. B. Zaman, M. D. Dahl, T. J. Bencic, and C. Y. Loh, Investigation of a transonic resonance with convergent-divergent nozzles, Journal of Fluid Mechanics, vol.463, pp.313-343, 2002.

T. Handa, M. Masuda, and K. Matsuo, Mechanism of shock wave oscillation in transonic diffusers, AIAA journal, vol.41, issue.1, pp.64-70, 2003.

B. J. Olson and S. K. Lele, A mechanism for unsteady separation in over-expanded nozzle flow, Physics of Fluids, vol.25, issue.11, p.110809, 2013.

T. Shimizu, H. Miyajima, and M. Kodera, Numerical study of restricted shock separation in a compressed truncated perfect nozzle, AIAA journal, vol.44, issue.3, pp.576-584, 2006.

X. Meng and Z. Ye, The transition of flow pattern and the influence of outflow on flow pattern in over-expanded rocket nozzle, 53rd AIAA/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference, p.5067, 2017.

E. Shimshi, G. Ben-dor, and L. A. , Viscous simulation of shock reflection hysteresis in ideal and tapered overexpanded planar nozzles, Shock Waves, vol.21, issue.3, pp.205-214, 2011.

Q. Xiao, H. M. Tsai, and D. Papamoschou, Numerical study of jet plume instability from an overexpanded nozzle, 45th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, p.1319, 2007.

Q. Xiao, H. M. Tsai, and D. Papamoschou, Numerical investigation of supersonic nozzle flow separation, AIAA journal, vol.45, issue.3, pp.532-541, 2007.

K. Sreejith, M. P. Dhrishit, and M. Deepu, Numerical analysis of flow separation in rocket nozzles, Fluid Mechanics and Fluid Power-Contemporary Research, pp.1233-1242, 2017.

C. L. Chen, S. R. Chakravarthy, and H. C. , Numerical investigation of separated nozzle flows, AIAA journal, vol.32, issue.9, pp.1836-1843, 1994.

D. J. Bodony and S. K. Lele, Current status of jet noise predictions using large-eddy simulation, AIAA journal, vol.46, issue.2, pp.364-380, 2008.

J. Berland, C. Bogey, and C. Bailly, Large eddy simulation of screech tone generation in a planar underexpanded jet, 12th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (27th AIAA Aeroacoustics Conference), p.2496, 2006.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02352647

J. Liu, K. Kailasanath, R. Ramamurti, D. Munday, E. Gutmark et al., Largeeddy simulations of a supersonic jet and its near-field acoustic properties, AIAA journal, vol.47, issue.8, pp.1849-1865, 2009.

A. Singh and A. Chatterjee, Numerical prediction of supersonic jet screech frequency, Shock Waves, vol.17, issue.4, pp.263-272, 2007.

G. Brès, F. Ham, N. J. Lele, and S. , Unstructured large-eddy simulations of supersonic jets, AIAA journal, vol.55, issue.4, pp.1164-1184, 2017.

R. Lárusson, N. Andersson, and J. Östlund, Hybrid rans-les simulation of separated nozzle flow, 52th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference, 2016.

S. Deck, Zonal-detached-eddy simulation of the flow around a high-lift configuration, AIAA journal, vol.43, issue.11, pp.2372-2384, 2005.

P. Spalart and S. Deck, A new version of detached-eddy simulation, resistant to ambiguous grid densities, Theoretical and computational fluid dynamics, vol.20, issue.3, p.181, 2006.

E. Martelli, P. P. Ciottoli, M. Bernardini, F. Nasuti, and M. Valorani, Detached-eddy simulation of shock unsteadiness in an overexpanded planar nozzle, AIAA Journal, vol.55, issue.6, 2017.

E. Martelli, P. P. Ciottoli, L. Saccoccio, F. Nasuti, M. Valorani et al., Characterization of unsteadiness in an overexpanded planar nozzle, AIAA Journal, vol.57, issue.1, pp.1-13, 2019.

A. Georges-picot, A. Hadjadj, and J. Herpe, Influence of downstream unsteadiness on shock pattern in separated nozzle flows, 50th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference, p.4000, 2014.

A. Hadjadj, Y. Perrot, and S. Verma, Numerical study of shock/boundary layer interaction in supersonic overexpanded nozzles, Aerospace Science and Technology, vol.42, pp.158-168, 2015.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02082612

B. Olson and S. Lele, Large-eddy simulation of an over-expanded planar nozzle, 41st AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit, p.3908, 2011.

P. R. Spalart and S. R. Allmaras, A one-equation turbulence model for aerodynamic flows, AIAA 92-0439, 30 th Aerospace Sciences Meeting, 1992.

J. Smagorinsky, General circulation experiments with the primitive equations : I. the basic experiment, Monthly weather review, vol.91, issue.3, pp.99-164, 1963.

P. R. Spalart, W. Jou, M. Strelets, and S. R. Allmaras, Comments on the feasibility of LES for wings and on hybrid RANS//LES approach, 1st AFSOR Int. Conf. on DNS/LES -Ruston, 1997.

N. Chauvet and S. Deck, Zonal detached eddy simulation of a controlled propulsive jet, AIAA Journal, vol.45, issue.10, pp.2458-2473, 2007.

S. Deck, Recent improvements in the zonal detached eddy simulation (ZDES) formulation

. Theor, Comput. Fluid Dyn, vol.26, pp.523-550, 2012.

E. Goncalves and R. Houdeville, Numerical simulations of a transport-aircraft configuration, International Journal of Computational Fluid Dynamics, vol.23, issue.6, pp.449-459, 2009.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00530291

P. L. Roe, Approximate riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes, Journal of Computational Physics, vol.43, pp.357-372, 1981.

S. Tatsumi, L. Martinelli, and J. A. , Flux-limited schemes for the compressible navierstokes equations, AIAA journal, vol.33, issue.2, pp.252-261, 1995.

A. Jameson and W. Schmidt, Numerical solution of the euler equations by finite volume methods using runge kutta time stepping schemes, 14th fluid and plasma dynamics conference, p.1259, 1981.

R. C. Swanson, R. Radespiel, and T. E. , On some numerical dissipation schemes, Journal of Computational Physics, vol.147, issue.2, pp.518-544, 1998.

A. Jameson, Time dependent calculations using multigrid, with applications to unsteady flows past airfoils and wings, 10th Computational Fluid Dynamics Conference, p.1596, 1991.

B. Merci, J. Steelant, J. Vierendeels, K. Riemslagh, and D. E. , Computational treatment of source terms in two-equation turbulence models, AIAA journal, vol.38, issue.11, pp.2085-2093, 2000.

J. Viegas, M. Rubesin, and C. Horstman, On the use of wall functions as boundary conditions for two-dimensional separated compressible flows, 23rd Aerospace Sciences Meeting, p.180, 1985.

C. Hirsch, Numerical computation of internal and external flows, volume II, 1990.

A. Towne, O. T. Schmidt, and T. Colonius, Spectral proper orthogonal decomposition and its relationship to dynamic mode decomposition and resolvent analysis, Journal of Fluid Mechanics, vol.847, pp.821-867, 2018.

. Figure-a, 4 -L'évolution de la pression pariétale le long de la génératrice : la pression moyenne à gauche et la pression rms à droite

, A.1.2.2 Vitesse externe FIGURE A.5 -La structure du jet moyennée en temps

. Figure-a, 6 -Visualisation d'un instantané via un pseudo-schlieren

. Figure-a, 7 -Visualisation d'un instantané via une iso-surface du critère Q avec la valeur Q =

. Figure-a, 19 -La densité spectrale des efforts F x , F y et F z ainsi que des moments M y et M z intégrés sur tout le divergent en fonction de la fréquence St