Estimation semi-paramétrique pour le modèle de régression non linéaire avec erreurs sur les variables

Marie-Luce Taupin (1)

1 MIA-JOUY - Unité de biométrie et intelligence artificielle de Jouy

In the non linear errors-in-variables model, we suppose that the explanatory variables are real random variables independently distributed with common unknown density and are observed with a Gaussian additive error which is supposed to be independent from the explanatory variables. The regression function is known up to a finite dimensional parameter. We aim to estimate the unknown parameter in this semi-parametric model. We proceed in two steps. The chapter 2 is devoted to the estimation of some linear functional integrals of a density in the convolution model. In particular we establish a lower bound of the minimax quadratic risk for estimating the value of a density at a point over the class of densities obtained by convolution with the standard Gaussian density. In chapter 3, using the preceeding results, we propose a modified least squares criterion based on the estimation of a conditional expectation depending on the unknown density of the explanatory variables. We show that the estimator of parameters obtained by minimization of this criterion is consistent and that its rate of convergence is strongly related to the regularity of the regression function. The more regular the regression function (with respect to the explanatory variables) the faster the rate is. This rate is generally slower than the parametric rate. Nevertheless it is very close to this parametric rate for some regression functions admitting an analytic continuation on the complex plane.

Dans un modèle de régression non linéaire avec erreurs sur les variables, on suppose les variables explicatives sont des variables aléatoires réelles indépendantes, de densité inconnue, qui sont observées à une erreur additive indépendantes et gaussienne près. La fonction de régression est connue à une paramètre fini-dimensionnel près. L'objectif est d'estimer ce paramètre dans ce modèle semi-paramétrique. Nous procédons en deux étapes. Le chapitre 2 est consacrée à l'estimation de fonctionnelles linéaires intégrales d'une densité dans le modèle de convolution. En particulier nous établissons une borne inférieure du risque quadratique minimax pour l'estimation d'une densité en un point sur la classe des densités obtenues par convolution avec la densité gaussienne standard. Dans le chapitre 3, en utilisant les résultats précédents, nous proposons un critère des moindres carrés modifié, basé sur l'estimation d'une espérance conditionnelle dépendant de la densité inconnue des variables explicatives. Nous montrons que l'estimateur obtenu par minimisation du critère ainsi construit est consistant et que sa vitesse de convergence est d'autant plus rapide que la fonction de régression admet de fortes propriétés de régularité (par rapport aux variables explicatives), et qu'elle est généralement plus lente que la vitesse paramétrique tex2html_wrap_inline25 . Néanmoins elle est d'ordre tex2html_wrap_inline27 pour un certain nombre de fonctions de régressions admettant un prolongement analytique sur le plan complexe.

Mots clés: these

Mots clés: Estimation semi-paramétrique; fonction analytique; estimation d'une densité; risque minimax; estimation non paramétrique; transformées de Fourier; régression non linéaire avec erreurs sur les variables

Domaines: Mathématiques [math]; Informatique [cs]

Marie-Luce Taupin. Estimation semi-paramétrique pour le modèle de régression non linéaire avec erreurs sur les variables. Mathematics [math]. 1998. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02841288⟩