, de l'espace d'états initial et pas forcément un sous-espace d'états. C'est pourquoi, il nous paraît intéressant, et pas impossible, d'appliquer ce type d'agrégation directement à un niveau de spécification plus élevé tels que les réseaux d'automates ou de Pétri stochastiques. Le couplage étant basé sur la comparaison des équations d'évolution en fonction des événements, nous l'avons appliquée dans cette thèse à différents systèmes. L'approche étant similaire à chaque fois, il serait

, On vérifie que la deuxième composante peut compenser par des événements de façon à ce que le processus couplé reste dans K. L'objectif est de considérer ces différents sauts et de comparer les taux de transition correspondants, de façon à vérifier que les taux qui compensent sont toujours supérieurs à ceux qui font sortir. Nous n'avons développé que la première partie de l'algorithme, c'est à dire la sortie par la première composante, il faudrait donc le faire également pour la seconde composante. De plus, Vers un algorithme de couplage de processus On considère deux processus avec des évènements se déclenchant dans chacun d'eux

, Les valeurs numériques nous permettent de voir l'écart entre la borne supérieure et la borne inférieure. Par contre, nous n'avons pas obtenu pour l'instant de résultat théorique concernant cet écart. Ainsi, si P S est une borne supérieure d'une mesure de performance, et P I une borne inférieure, l'objectif est de trouver la valeur b tel que |P S ? P I | < b. Il existe un certain nombre de travaux que nous aimerions exploiter, Estimation de l'erreur entre les bornes Nous avons vu que la comparaison stochastique a permis de fournir des encadrements des mesures de performances exactes. Ce résultat est très intéressant par rapport à des approximations car nous avons comme résultat un intervalle de valeurs possibles pour la valeur exacte

, Choix de l'ordre sur l'espace d'états

L. Dans-certains-cas, Dans le cas de réseaux de files d'attente, on utilise souvent l'ordre composante par composante. Dans le cas général d'un système modélisé par une chaîne de Markov, il n'est pas toujours facile, à partir des états utilisés pour calculer l'indice de performance, de choisir cet ordre. Plus précisément

. Ainsi, la construction d'un ordre sur l'espace d'états est déduit de la fonction de coût et des propriétés de monotonie de la matrice. Ainsi, la recherche d'un ordre sur l'espace d'états permettant de comparer les mesures de performance est une étape importante. Il serait intéressant de poursuivre pour voir l

, Comparaison de systèmes non-markoviens et semi-markoviens La comparaison stochastique a été peu appliquée à des processus semi-markoviens ou nonmarkoviens. Toutefois, il existe un certain nombre d'articles concernant ces sujets là

. Dans, la comparaison stochastique est appliquée à des processus semi-markoviens. Des conditions suffisantes sur les taux de transitions sont établies pour définir l'ordre fort entre les processus. De plus, il existe un certain nombre de travaux [90] consistant à appliquer la comparaison stochastique par fonctions de projections afin de comparer un processus nonmarkovien avec un processus markovien, vol.89

, 53] peut être utile lorsque l'ordre fort (strong) n'existe pas entre les processus. Il serait important de comprendre quand on peut les utiliser. C'est à dire, de façon intuitive pourquoi dans certains cas un ordre existe et pas un autre. Il serait important (sans passer par le formalisme matriciel) d'arriver à deviner, Ordres stochastiques faibles La comparaison stochastique basée sur des ordres faibles

B. Baynat, Théorie des files d'attente : Des chaînes de Markov aux réseaux à forme produit. Réseaux et télécommunications, vol.2, p.32, 2000.

S. Kishor, J. K. Trivedi, S. P. Muppala, B. R. Woolet, and . Haverkort, Composite performance and dependability analysis, Perform. Eval, vol.14, issue.3-4, p.69, 1992.

S. Kishor, X. Trivedi, S. Ma, and . Dharmaraja, Performability modelling of wireless communication systems, Int. J. Communication Systems, vol.16, issue.6, p.69, 2003.

J. F. Meyer, On evaluating the performability of degradable computing systems, IEEE Trans. Computers, vol.29, issue.8, p.69, 1980.

J. C. Baeten, Applications of process algebra, 1990.

K. Jensen, Coloured Petri Nets : Basic Concepts, Analysis Methods and Practical Use. Monographs in Theoretical Computer Science, vol.4, 1997.

T. Murata, Petri nets : Properties, analysis and applications, NewsletterInfo : 33Published as Proceedings of the IEEE, vol.77, pp.541-580, 1989.

R. Sahner, K. S. Trivedi, and A. Puliafito, Performance and Reliability Analysis of Computer Systems : An Example-Based Approach Using the Sharpe Software Package, 1996.

C. Adam and P. , Communication with automata, 1966.

J. Lyle-peterson, Petri Net Theory and the Modeling of Systems, 1981.

W. Reisig, Petri nets : an introduction, 1985.

M. K. Molloy, On the integration of delay and throughput measures in distributed processing models, 1981.

C. Ramchandani, Analysis of asynchronous concurrent systems bu timed Petri Nets, 1974.

J. Sifakis, Use of petri nets for performance evaluation, pp.75-93, 1977.

S. O. Natkin, Les réseaux de PETRI stochastiques et leur application à l'évaluation des systèmes informatiques, Tesis doctorales. CNAM, 1980.

M. K. Molloy, Discrete time stochastic petri nets, IEEE Trans. Softw. Eng, vol.11, issue.4, pp.417-423, 1985.

G. Ciardo, Discrete-time markovian stochastic petri nets, 1995.

G. Marco-ajmone-marsan, G. Balbo, and . Conte, A class of generalised stochastic petri nets for the performance evaluation of multiprocessor systems, pp.198-199, 1983.

M. A. Marsan, G. Balbo, and G. Conte, Performance models of multiprocessor systems, vol.5, p.6, 1986.

B. Plateau, De l'évaluation du parallélisme et de la synchronisation, vol.5, p.6, 1984.

B. Plateau, On the stochastic structure of parallelism and synchronization models for distributed algorithms, vol.5, p.6, 1985.

P. H. Fernandes, Méthodes numériques pour la solution de systèmes Markoviens à grand espace d'États. Thése doctorat, 1998.

K. Atif, Modélisation du parallélisme et de la synchronisation, 1992.

O. Gusak, T. Dayar, and J. Fourneau, Discrete-time stochastic automata networks and their efficient analysis, Performance Evaluation, vol.53, issue.1, pp.43-69, 2003.

J. Little, A proof for the queuing formula : lequil ;| ?w, 1961.

E. Gelenbe and I. Mitrani, Analysis and synthesis of computer systems, 1980.

S. S. Lavenberg, Computer performance modeling handbook. Notes and reports in computer science and applied mathematics, 1983.

. Publications, Publications Références bibliographiques

E. Gelenbe, Random neural networks with negative and positive signals and product form solution, Neural Comput, vol.1, issue.4, pp.502-510, 1989.

J. Peter, J. P. Denning, and . Buzen, The operational analysis of queueing network models, ACM Comput. Surv, vol.10, issue.3, pp.225-261, 1978.

J. R. Jackson, Jobshop-like queueing systems, Management Science, vol.10, pp.131-142, 1963.

W. J. Gordon and G. F. Newell, Closed queueing systems with exponential servers, p.9, 1967.

F. Baskett, K. M. Chandy, R. R. Muntz, and F. G. Palacios, Open, closed, and mixed networks of queues with different classes of customers, J. ACM, vol.22, issue.2, p.9, 1975.

G. Bolch, S. Greiner, H. De-meer, and K. S. Trivedi, Queueing Networks and Markov Chains : Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications, vol.10, p.69, 2006.

N. M. Van-dijk, Analytic comparison results for communication networks, Computer Communications, vol.21, issue.17, p.10, 1998.

S. Fdida and G. Pujolle, Modèles de systèmes et de réseaux. Eyrolles, vol.1, p.32, 1989.

P. J. Courtois, Decomposability : queueing and co nputev system applications, vol.10, p.126, 1977.

J. A. Carrasco, Bounding steady-state availability models with group repair and phase type repair distributions, Perform. Eval, vol.35, issue.3-4, p.126, 1999.

S. Mahévas and G. Rubino, Bound computation of dependability and performance measures, IEEE Trans. Comput, vol.50, issue.5, p.126, 2001.

A. Müller and P. D. Stoyan, Comparison Methods for Stochastic Models and Risks, Wiley Series in Probability and Statistics, vol.28, issue.11, p.29, 2002.

W. A. Massey, Stochastic ordering for markov processes on partially ordered spaces, Math. Oper. Res, vol.12, issue.2, p.30, 1987.

T. , Lectures on the Coupling Method, Dover Books on Mathematics Series, p.11, 2002.

H. Castel-taleb, Agrégation de trafic et de systémes markoviens pour garantir la QoS des réseaux complexes. Habilitation à Diriger Les Recherches de l, p.11, 2011.

M. Doisy, A coupling technique for stochastic comparison of functions of markov processes, JAMDS, vol.4, issue.1, p.52, 2000.

L. Truffet, Reduction techniques for discrete-time markov chains on totally ordered state space using stochastic comparisons, Journal of Applied Probability, vol.37, issue.3, p.52, 2000.

J. Fourneau and N. Pekergin, An algorithmic approach to stochastic bounds, Performance Evaluation of Complex Systems : Techniques and Tools, Performance 2002, Tutorial Lectures, vol.12, p.18, 2002.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00155127

J. Ledoux and L. Truffet, Markovian bounds on functions of finite markov chains, Advances in Applied Probability, vol.33, issue.2, p.12, 2001.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00852402

S. Kishor and . Trivedi, Probability and statistics with reliability, queuing and computer science applications, vol.12, p.126, 2002.

B. B. Madan, S. Dharmaraja, and K. S. Trivedi, Combined Guard Channel and Mobile-Assisted Handoff for Cellular Networks, IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.57, p.127, 2008.

M. Shaked and J. G. Shanthikumar, Stochastic Orders and Their Applications, p.18, 1994.

A. Muller and D. Stoyan, Comparison methods for Stochastic Models and Risks, J. Wiley and son in Probability and Statistics, p.20, 2002.

M. Shaked and J. G. Shanthikumar, Stochastic orders and their applications. Probability and mathematical statistics, p.20, 1994.

H. Castel-taleb, Bornes stochastiques pour l'évaluation des réseaux informatiques, p.20, 1996.

W. A. Massey, A family of bounds for the transient behavior of a jackson network, Journal of Applied Probability, vol.23, issue.2, p.131, 1986.

T. Kamae and U. Krengel, Stochastic inequalities on partially ordered spaces, Annals of Probability, vol.5, p.24, 1977.

T. Lindvall, Lectures on the Coupling Method, vol.24, p.29, 2002.

T. Lindvall, Stochastic monotonicities in jackson queueing networks, Probability in the Engineering and Informational Sciences, vol.11, issue.01, p.32, 1997.

W. J. Stewart, Introduction to the numerical solution of Markov Chains, p.32, 1994.

. Publications, Publications Références bibliographiques

H. Castel-taleb, L. Mokdad, and N. Pekergin, Aggregated bounding markov processes applied to the analysis of tandem queues, vol.33, p.52, 2007.

A. Economou, Necessary and sufficient conditions for the stochastic comparison of jackson networks, Probab. Eng. Inf. Sci, vol.17, issue.1, p.40, 2003.

E. Gelenbe, Product-form queueing networks with negative and positive customers, Journal of Applied Probability, p.51, 1991.

E. Gelenbe, G-networks with instantaneous customer movement, Journal of Applied Probability, vol.3, issue.20, p.52, 1993.

E. Gelenbe, G-networks with signals and batch removal, Probability in the Engineering and Informational Sciences, vol.7, issue.03, p.53, 1993.

X. Chao, M. Miyazawa, and M. Pinedo, Queueing Networks : Customers, Signals, and Product Form Solutions. Wiley-Interscience series in systems and optimization, p.51, 1999.

E. Gelenbe, G-networks : a unifying model for neural and queueing networks, Annals of Operations Research, vol.48, issue.5, p.52, 1994.

J. R. Artalejo, G-networks : A versatile approach for work removal in queueing networks, European Journal of Operational Research, vol.126, issue.2, p.52, 2000.

E. Gelenbe, Dealing with software viruses : a biological paradigm, information security technical report, vol.12, issue.4, p.63, 2007.

, Stochastic bounds on the transient behaviors of the g-network, p.52, 2002.

H. Castel-taleb, J. Fourneau, and N. Pekergin, Stochastic comparisons applied to g-networks with catastrophes, p.52, 2010.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00545738

H. Castel-taleb, Stochastic Comparisons for Performability of Telecommunication Systems, Idriss Ismael-Aouled, and Nihal Pekergin, pp.189-203, 2010.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00545739

R. Boudewijn, R. Haverkort, and . Harper, Performance and dependability techniques and tools, Perform. Eval, vol.44, issue.1-4, p.70, 2001.

M. Hossam and A. , Call admission control in wireless networks : A comprehensive survey, IEEE Communications Surveys Tutorials, vol.7, p.89, 2005.

D. Hong and S. S. Rappaport, Traffic Model and Performance Analysis for Cellular Mobile Radio Telphone Systems with Prioritized and Non-Prioritized Handoff Procedures, IEEE International Conference on Communications, vol.87, p.91, 1986.

S. Wha and D. Jeon, Call admission control for mobile multimedia communications with traffic asymmetry between uplink and downlink, IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.50, p.89, 2001.

, Idriss Ismael Aouled and Hind Castel-Taleb. Combined cac and forced handoff for mobile network performability, p.88, 2012.

M. Ghaderi and R. Boutaba, Call admission control in mobile cellular networks : a comprehensive survey : Research articles, Wirel. Commun. Mob. Comput, vol.6, issue.1, p.89, 2006.

M. Mouly and M. Pautet, The GSM System for Mobile Communications, p.89, 1992.

T. W. Oliver, . Yu, C. M. Victor, and . Leung, Adaptive Resource Allocation for Prioritized Call Admission over an ATM-Based Wireless PCN, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol.15, p.89, 1997.

N. Bartolini and I. Chlamtac, Improving call admission control procedures by using hand-off rate information, Wireless Communications and Mobile Computing, vol.1, p.89, 2001.

S. H. Cho, S. J. Yang, S. Heu, and S. H. Park, QoS Oriented Bandwidth Management Scheme for Stable Multimedia Services on the IMT2000 Networks, International Symposium on Information Technology, p.89, 2000.

T. T. Nielsen and J. Wigard, Performance Enhancements in a Frequency Hopping GSM Network, p.91, 2000.

P. J. Courtois and P. Semal, Computable bounds for conditional steady-state probabilities in large markov chains and queueing models, IEEE Journal on Selected Area in Communication, vol.4, issue.6, p.126, 1986.

P. Buchholz, An iterative bounding method for stochastic automata networks. Perform, Eval, vol.49, issue.1/4, p.129, 2002.

O. Gusak, T. Dayar, and J. Michel-fourneau, Iterative disaggregation for a class of lumpable discrete-time stochastic automata networks, Performance Evaluation, vol.53, p.129, 2003.

S. Baarir, M. Beccuti, C. Dutheillet, G. Franceschinis, and S. Haddad, Lumping partially symmetrical stochastic models, Performance Evaluation, vol.68, p.129, 2011.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00779940

H. Castel-taleb and I. Ismael-aouled, Stochastic comparison of markov processes through coupling by mapping functions, 8th International Conference on Quantitative Evaluation of Systems (Fast Abstract,QEST 2011, pp.5-6
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01303048

. September, , p.130, 2011.

. Publications, Publications Références bibliographiques

N. M. Van-dijk and H. Korezlioglu, On product form approximations for communication networks with losses : error bounds, Ann. Oper. Res, vol.35, issue.1-4, p.130, 1992.

N. M. Van-dijk, Error bounds for state space truncation of finite jackson networks, European Journal of Operational Research, vol.186, issue.1, p.130, 2008.

D. Daly, P. Buchholz, and W. H. Sanders, A preorder relation for markov reward processes, Statistics amp ; Probability Letters, vol.77, issue.11, pp.1148-1157, 2007.

D. Sonderman, Comparing semi-markov processes, Mathematics of Operations Research, vol.1, p.131, 1980.

W. Witt, Stochastic comparisons for non-markov processes, Mathematics of Operations Research, vol.11, issue.4, p.131, 1986.

R. Ghosh, F. Longo, V. K. Naik, and K. S. Trivedi, Modeling and performance analysis of large scale iaas clouds, Future Generation Computer Systems, issue.0, p.132, 2012.

G. Shen, J. Deng, and P. Ho, Green backbone optical networks : The way forward, Information, Communications and Signal Processing (ICICS) 2011 8th International Conference on, p.132, 2011.

, L'analyse exacte, de ces derniers, est très difficile voire impossible si la distribution des probabilités n'a pas de solution évidente (par exemple une forme produit) à cause de l'explosion de l'espace d'états. Pour contourner ce problème, et parce que souvent on ne s'intéresse qu'à une partie du système (noeud ou un chemin), nous utilisons l'agrégation bornante basée sur le couplage par fonction de projection sur des espaces d'états plus petits. La méthode du couplage, basée sur la comparaison des trajectoires des processus en fonction des événements qui se déclenchent dans les systèmes, nous permet de construire à partir du système original des sous-systèmes bornants plus simple à analyser. Nous pouvons, alors, proposer des mesures de performances bornantes (supérieures et inférieures) de la mesure exacte. Ces bornes, ainsi obtenues, sont valables pour les régimes stationnaires mais aussi transitoires. Nous mettons également en évidence l, Résumé Notre travail s'inscrit dans le thème plus global de la modélisation et de l'évaluation des systèmes multidimensionnels et adresse plus particulièrement la prédiction des indicateurs de performabilité qui réfère aux performances des systèmes en présence de pannes et de réparations

, Nous l'avons comparé à d'autres mécanismes et apporté la preuve stochastique que celui-ci améliore les probabilités de dropping des handovers et de blocage des nouveaux appels dans le cas d'un réseau monocellulaire. De plus, les résultats numériques nous ont permis de valider ce mécanisme, Enfin, nous proposons un nouveau mécanisme de contrôle d'admission (CAC) dans les réseaux mobiles

, Mots clés : Performabilité, comparaison stochastique, couplage, réseaux de files d'attente