DDFV method : applications to fluid mechanics and domain decomposition
Méthode DDFV : applications en mécanique des fluides et décomposition des domaines
Résumé
The goal of this thesis is to study and develop numerical schemes of finite volume type for
problems arising in fluid mechanics, namely Stokes and Navier-Stokes problems. The schemes we choosed
are of discrete duality type, denoted by DDFV; this method works on staggered grids, where the velocity
unknowns are located at the centers of control volumes and at the vertices of the mesh, and the pressure
unknowns are on the edges of the mesh. This kind of construction has two main advantages: it allows to
consider general meshes (that do not necessarily verify the classical orthogonality condition required by finite
volume meshes) and to reconstruct and mimic at the discrete level the dual properties of the continuous
differential operators. We start by the study of the discretization of Stokes problem with mixed boundary
conditions of Dirichlet/Neumann type; the well-posed character of this problem is strictly relied to Inf-sup
inequality, that has to be verified. In the DDFV setting, this inequality has been proven for particular
meshes; we can avoid this hypothesis, by adding some stabilization terms in the equation of conservation of
mass. In the first place, we study a stabilized scheme for Stokes problem in Laplace form, by showing its
well-posedness, some error estimates and numerical tests. We study the same problem in divergence form,
where the strain rate tensor replaces the gradient; here, we suppose that the Inf-sup inequality is verified,
and we design a well-posed scheme followed by some numerical tests. We consider then the incompressible
Navier-Stokes problem. At first, we study this problem coupled with « open » boundary conditions on the
outflow; this kind of conditions arises when an artificial boundary is introduced, to save computational
ressources or for physical reasons. We write a well-posed scheme and some energy estimates, validated
by numerical simulations. Secondly, we address the domain decomposition method without overlap for
the incompressible Navier-Stokes problem, by writing a discrete Schwarz algorithm. We discretize the
problem with a semi-implicit Euler scheme in time, and at each time iteration we apply Schwarz algorithm
to the resulting linear system. We show the convergence of this algorithm and we end by some numerical
experiments. This thesis ends with a last chapter concerning the work done during CEMRACS 2019, where
the goal is to extend DPIR (a recent technique for interface reconstruction between two materials) to the
case of curved interfaces and of three materials. Some numerical simulations show the results.
L’objectif de cette thèse est d’étudier et développer des schémas numérique du type volume
finis pour des problèmes provenant de la mécanique des fluides, notamment le problème de Stokes et
Navier-Stokes. Les schémas choisis sont du type dualité discrète, dénotés DDFV; cette méthode travaille
sur des grilles décalées, où les inconnus de vitesse sont placés aux centres des volumes de contrôle et aux
sommets du maillage, et les inconnus de pression aux arêtes du maillage. Ce type de construction a deux
avantages principaux: elle permet de considérer des maillages généraux (qui ne vérifient pas nécessairement
la condition d’orthogonalité classique des maillages volumes finis) et de reconstruire à niveau discret les
propriétés de dualité des opérateurs différentiels continus. On commence par l’étude de la discrétisation du
problème de Stokes avec des conditions aux bords mixtes de type Dirichlet/Neumann; le caractère bien
posé de ce problème est strictement lié à l’inégalité Inf-sup, qui doit être vérifiée. Dans le cadre DDFV,
cette inégalité a été prouvée pour des maillages particuliers; on peut éviter cette hypothèse, en ajoutant des
termes de stabilisation dans l’équation de conservation de masse. Dans un premier temps, on étudie un
schéma stabilisé pour le problème de Stokes en forme de Laplace, en montrant son caractère bien posé, des
estimations d’erreur et des tests numériques. On étudie ensuite le même problème en forme divergence,
où le tenseur des contraintes remplace le gradient; ici, on suppose que l’inégalité Inf-sup est vérifiée, et on
écrit un schéma bien posé suivi des tests numériques. On considère ensuite le problème de Navier-Stokes
incompressible. Initialement, on étude ce problème couplé avec des conditions aux bords « ouvertes » en
sortie ; ce type de conditions apparaissent lors qu’on veut introduire une frontière artificielle, qui peut arriver
pour des raisons de coût de calcul ou physiques. On écrit un schéma bien posé et des estimations d’énergie,
validés par des simulations numériques. Deuxièmement, on s’intéresse à la méthode de décomposition de
domaines sans recouvrement pour le problème de Navier-Stokes incompressible, en écrivant un algorithme de
Schwarz discret. On discrétise le problème avec un schéma de type Euler semi-implicite en temps, et à chaque
itération on applique l’algorithme de Schwarz au système linéaire résultant. Nous montrons également la
convergence de cet algorithme et nous terminons par des expériences numériques. Cette thèse se termine
par un cinquième chapitre issu d’une collaboration lors du CEMRACS 2019, où le but est d’étendre DPIR
(une technique récente pour la reconstruction d’interfaces entre deux matériaux) au cas d’interfaces courbes
et de trois matériaux. Des simulations numériques montrent les résultats.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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