, M : I k (M) ? Gal(K/k) est surjective

M. Pour, ker(Art K/k,M ), autrement dit ker(Art K/k,M ) est un sous-groupe de congruence modulo M qu'on appelle groupe d'Artin attaché à l'extension K/k et au cycle M. Un tel M est dit admissible pour l'extension K/k. L'application de réciprocité d'Artin induit alors un morphisme surjectif Cl K (M) ? Gal(K/k)

, L'application de réciprocité d'Artin induit alors l'isomorphisme de groupes I k (M)/P k (M)N K/k (I K (M 0 O K )) Gal(K/k)

, Il existe un M admissible minimal pour la divisibilité appellé conducteur de l'extension K/k et noté f(K/k)

, Deux sous-groupes de congruences de k (C 1 , M 1 ) et (C 2 , M 2 ) sont équivalents si C 1 ? I k (M 2 ) = C 2 ? I k (M 1 )

, On note alors (C 1 , M 1 ) ? (C

, La relation ? est une relation d'équivalence

, Soit C une classe d'équivalence de sous

, M) un sous-groupe de congruence de k et (C f , f) le conducteur de sa classe d'équivalence

, Un cycle arithmétique f est un conducteur s'il existe un sous-groupe de congruence (C, M) de conducteur f

, Cette nouvelle notion de conducteur est étroitement liée à la précédente

, parcourt l'ensemble des cycles admissibles pour K/k forme une classe d'équivalence de sous-groupes de congruences. Le conducteur de cette classe d'équivalence est f, Théorème 5.2.12. L'ensemble des M, ker Art K/k,M où M

, Ceci permet d'établir une correspondance entre les classes d'équivalence d'extension de k et les classes d'équivalence de sous-groupes de congruence

. Soit-k/k-et-k-/, k deux extensions abéliennes de corps de nombres, M un cycle admissible pour K/k et M un cycle admissible pour K /k. On suppose que les sous-groupes de congruence M, Art K/k,M et M , Art K /k,M sont équivalents. Alors les corps de nombres K et K sont k-isomorphes

(. Réciproquement and C. )-un-sous-groupe-de-congruence-de-k, Alors il existe une extension abélienne K/k telle que M soit un cycle admissible pour K/k et C = ker Art K/k,M . Cette extension est unique à kisomorphisme près

, Soit (M, C) un sous-groupe de congruence de k. L'extension K/k correspondant à (M, C) définie à k-isomorphisme près par le théorème de Takagi s'appelle le corps de classes de rayon de (M, C), Si C = P k (M)

M. Si, 1 est le cycle trivial, le corps de classes de rayon k(1) s'appelle le corps de classes de Hilbert de k

, Soit (M, C) un sous-groupe de congruence de k, Le corps de classes de rayon de (M, C) est donné par k(M) Art K/k,M (C)

. Partie-infinie-m-?-=-?-1 and . Qu, il est conducteur sur k (si ce n'est pas le cas, on peut l'éliminer car son conducteur a déjà été traité parmi les idéaux de plus petite norme)

, On calcule alors les groupes de classes de rayon Cl k (M) et Cl k (M 0 ), ainsi que l'application s M,M 0 . Pour tout idéal premier p de k divisant M 0 , on calcule la p-partie M p de M, son groupe de classes de rayon Cl k (M p ) et l'application s M,M p . En notant C p le sousgroupe de Cl k (M p ) engendré par la classe de p dans Cl k (M p ), on obtient alors le groupe de décomposition D p (k(M)/k) de p dans k(M)/k comme étant l'image inverse de C p par s M

, On parcourt alors les sous-groupes de Cl k (M) de cardinal 2 . L'extension k(M) H /k sera alors de degré 2l

H. Si, /k ont même conducteur (car sinon, l'extension a déjà été obtenue via un idéal de norme inférieure

, On calcule alors H + = s M,M 0 (H). En utilisant k(M) H : k(M 0 ) H + = [Cl k (M):H] [Cl k (M 0 ):H + ] , on vérifie que k(M) H : k(M 0 ) H + = 2

, On calcule le groupe de Galois de k(M 0 ) H + /k en utilisant Gal(k(M 0 ) H + /k) Cl k (M 0 )/H + Cl k (M)/ H, ker s M,M 0 . Pour tout idéal premier p de k divisant M (c'est-à-dire ramifié dans k(M) H /k), on note P 0 un idéal premier de k(M 0 ) H + au-dessus de p et on teste si D p

, D'après la proposition 2.3, c'est le cas si et seulement si P 0 est totalement décomposée dans k(M) H /k(M 0 ) H + . Or cette extension est de degré 2, donc c'est le cas si et seulement si P 0 est décomposée dans k(M) H /k(M 0 ) H + . Ainsi, si cette condition n'est vérifiée pour aucun idéal premier p de k divisant M, Gal(k(M)/K 0 ) ? Gal(k(M)/k)

C. Enfin and . M-?-=-?-1, on a ? 2 qui reste réelle dans k(M) H et ? 1 qui devient complexe

, Comme le but sera ensuite de tester la conjecture en p = , afin de ne pas être dans un cas trivial, on peut très tôt dans l'algorithme ignorer les cas dans lesquels Cl k (M) n'est pas divisible par . De plus, deux groupes de cardinal p = étant nécessairement isomorphes

, Voici les structures rencontrées pour la 3-partie du groupe de classes des extensions K lorsque le nombre de classes

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