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Quantum walks: background geometry and gauge invariance

Paseos cuánticos: Geometría de fondo e invariancia gauge

Marches quantiques: géométrie de fond et invariance de jauge

Résumé : Certains problèmes ne peuvent être résolus efficacement avec les ordinateurs actuels, dits “classiques”. Certains algorithmes quantiques apportent des solu- tions théoriques à ces problèmes, qui pourraient être résolus efficacement si un ordinateur quantique, sous-entendu, universel, pouvait implémenter ces algo- rithmes. Il se trouve que la construction d’un tel ordinateur quantique s’avère une tâche très compliquée, limitée aujourd’hui fortement par les technologies à notre disposition. Ceci étant dit, les recherches précédemment citées durant, des simulateurs quantiques specialisés ont déjà été capables de résoudre certaines versions modestes de ces problèmes. Les simulateurs quantiques actuels sont en effet, soit des ordinateurs quantiques effectuant une tâche spécifique, soit des machines quantiques analogiques mimant le phénomène physique d’intérêt. Les dénommées marches quantiques, évolutions quantiques locales sur graphes discrets, sont un outil très pratique pour simuler certains systèmes physiques. Nous nous limiterons à leur version à temps discret, les marches quantiques à temps discret (MQTD). Dans certaines limites en espace-temps continu, ces marches quantiques coincident avec des équations d’onde pour fermions rela- tivistes, dont l’archétype et pilier est l’équation de Dirac. Dans la présente thèse, nous poursuivons l’étude des propriétés des MQTD comme possibles schémas de simulation quantique. Nous pouvons résumer nos résultats en trois parties: i) Nous introduisons un schéma MQTD permettant de simuler, dans la limite au continu, la dynamique de fermions relativistes dans une théorie de branes; ceci ouvre la possibilité d’étudier différents modèles de théories Kaluza-Klein; ii) Nous discutons l’invariance de jauge U(1), i.e., électromagnétique, des MQTD, nous comparons notre modèle aux invariances précédemment introduites dans la littérature; notre invariance de jauge présente de fortes similitudes avec celle des théories de jauge sur réseau; iii) Nous introduisons des MQTD sur grilles non-rectangulaires, plus précisément, triangulaires et hexagonales, avec toujours comme condition de retrouver l’équation de Dirac au continuum; ces modèles peuvent être étendus au moyen d’opérateurs unitaires locaux spatiotemporelle- ment inhomogènes et n’agissant que sur l’espace interne du marcheur, afin de générer dans la limite au continu l’equation de Dirac en espace-temps courbe.