, de chercherà savoir si elle a des idempotents non triviaux ; on dirait alors -mais c'est une astuce linguistique -que l'on chercheà savoir si le "spectre" de B est connexe, alors que, bien entendu, B n'a pas de spectreà proprement parler, puisqu'en tant qu'algèbre non-commutative, elle n'est isomorpheà aucune algèbre de fonctions continues sur un espace. A titre d'exemple amusant, remarquons que si n ? 2, il n'y a aucun morphisme d'algèbres M n (C) ? C ; cela se traduirait par la phrase "pour n ? 2, le spectre de M n (C) n'a pas de points". Revenonsà la propriété RD. Il s'agit de découper mentalement verticalement en deux le diagramme commutatif : la partie droite doitêtre conçue comme la partie "spectrale", qui concerne R/2?Z, et la partie gauche doitêtre conçue commeétant la partie "algébrique", qui concerne Z. Le travail accompli dans la discussion cidessus revenait en faità traduire l'assertion spectrale "sur le cercle, l'espace des fonctions lisses se plonge dans l'espace des fonctions continues" par une assertion analytico-algébrique, la propriété RD. Ainsi, selon la philosophie non-commutative
, Pour G non moyennable, si L une fonction de longueur propre telle que B G 1 engendre G, alors (G, L) vérifie une inégalité isopérimétrique forte sur les boules
,
, Le fait suivant est vrai : si G est un groupe de Lie semi-simple, sans facteur compact, connexe, de centre fini, si ? est un réseau irréductible de G, et si L est une fonction de longueur géométriquement bornée sur G telle que G 1 est un voisinage de e dans G, alors la condition faible de comptage est vérifiée
, Si G est un groupe de Lie semi-simple, connexe, sans facteur compact, de centre fini, si ? est un réseau irréductible, et si L est la fonction de longueur associéeà l'action de G sur son espace symétrique, alors il existe ? > 0 tel que
, D'après les remarques ci-dessus
, 7, et sous l'hypothèse additionnelle que rank R G ? 2, alors la restrictionà ? de L ? est quasi-isométriqueà toute longueur des mots sur ?
, Soit G un groupe de Lie semi-simple, connexe, sans facteur compact, de centre fini, et soit L la fonction de longueur associéeà l'action de G sur son espace symétrique. Alors, d'après [CPSC07, Theorem 6.1], G a RD par rapportà L. Et donc, il a RRD, par rapportà L
, 4, ? a RRD par rapportà L ? . De plus, si ? n'est pas cocompact, il a un sous-groupe moyennableà croissance exponentielle, alors L | ? est quasi-isométriqueà toute longueur des mots. Utilisons la Proposition 4.3.7 pour obtenir ? > 0 tel que
, 4, en suivant les idées de [Per09], et en faisant les modifications nécessaires, Nous considérons G
, Soit µ X la mesure de probabilité G-invariante sur X. SoitD un domaine fondamental borélien, d'intérieur non vide (cela existe toujours, d'après [BdLHV08, Prop B.2.4]). Quittè a translater, on peut supposer queD est un voisinage de e. Soit s : X ?D une section borélienne, c'est-à-dire
, Espaces ?-géodésiques Notation A.1.1. Soit ? ? 0. Soit I un intervalle de R et J ? I. On dit que J est ?-coborné dans I si tout intervalle ouvert ]a, b
, Soit (X, d) un espace métrique
, Si x, y ? X, on note
, On appelle cet ensemble le segment entre x et y. On note ]x,
, Une géodésique partielle est une application isométrique c : J ? X avec I un sousensemble de R
, on considère des suites géodésiques,à savoir des suites finies de points
, } est un sous-ensemble fini de R, alors on peut voir que c : J ? X est une géodésique partielle si et seulement si (c(x 1 ), · · · , c(x n )) est une suite géodésique
, Le lemme suivant nous donne une façon de prolonger des géodésiques partielles
,
, et si z ? X est tel que z ?]c(s), c(t)[, alors le prolongement c : J ? {s + d(c(s), z)} ? X défini par c(s + d(c(s), z)) :=
, Pour démontrer que c est une application isométrique, il faut démontrer ?s, t ? J, d(c(s), c(t)) = |t ? s|
, Décomposons en plusieurs cas : il faut démontrer 1. ?s , t ? J, (s < t et u ? {s , t }) ? d(c(s), c(t)) = t ? s
,
, On a 2. par définition de c. Démontrons 3. (4. se démontre de la même manière) : soit s < s. Alors d(c(s ), c(u)) ? d(c(s ), c(s)) + d, On avait déjà, vol.1
, t ? s = d(c(s ), c(t)) ? d(c(s ), c(u)) + d
, Soit ? > 0. Les assertions suivantes sontéquivalentes. 1. Pour tout couple (x, y) ? X tel que d(x, y) > ?
, ) ? X, il existe une géodésique partielle définie sur un sous-ensemble fini J ?
, Il est facile de voir que 2. ? 1. : soit (x, y) ? X sont tels que d(x, y) > ?. Par hypothèse, il existe un J, ?-coborné dans
, Alors c(t) ?]x, y[. Réciproquement, on considère l'ensemble E des géodésiques partielles c définies sur un sous-ensemble fini J de [0, d(x, y)] contenant 0 et d(x, y), telles que c(0) = x et c(d(x, y)) = y. L'ensemble E est non vide, car il contient la géodésique partielle définie sur {0, d(x, y)} et envoyant 0 sur x et d(x, y) sur y. Partons d'unélément quelconque c de E. On applique l'algorithme suivant : -si le domaine de définition de c est ?
, tels que s < t, ]s, t[?J = ? et t ? s > ?
, \ J et soit n le nombre de ceux qui sont de longueur maximale, et soit ? cette longueur maximale. Si ? > ?, après une boucle, (n, ?) devient (n ? 1, ?) si n ? 2, et (m, ? ? ?) si n = 1, pour un certain entier m qui
, Cette algorithme fabrique donc une géodésique partielle dont le domaine de définition est ?-coborné dans
, Supposons que (X, d) est complet. Soit J ? R, et soit c : J ? X une géodésique partielle qui n'a aucun prolongement strict, Alors J est fermé
, D'après le théorème de prolongement des applications continues, c se prolonge en une application uniformément continue c : J ? X. Comme J × J est dense dans J × J, c est encore isométrique, et donc c'est une géodésique partielle qui prolonge c. Par hypothèse
, d) un espace métrique complet. Les assertions suivantes sontéquivalentes. 1. Pour tout couple (x, y) ? X tel que x =
, telle que c(0) = x et c(d(x, y)) = y (c'est-à-dire
, Pour la réciproque, soient (x, y) ? X tels que x = y. l'ensemble E des géodésiques partielles c définies sur un sous-ensemble J de [0, d(x, y)] contenant 0 et d(x, y), telles que c(0) = x et c(d(x, y)) = y et ordonnons-le par la relation de prolongement. L'ensemble E est non vide, car il contient la géodésique partielle définie sur {0, d(x, y)} et envoyant 0 sur x et d(x, y) sur y. Il est clairement inductif. D'après le lemme de Zorn, E a unélément maximal, c. On peut supposer que c est définie sur
, comme il est fermé, il existe s, t tels que s < t et ]s, t
, Soit ? > 0. Un espace métrique (X, d) est dit ?-géodésique s'il vérifie l
, d) une suite finie (x 1 , · · · , x n ) telle que d(x 1 , x n ) + ? ? n?1 i=1 d(x i , x i+1 ). La terminologie d'espace ?-géodésique que nous introduisons ne doit pas porterà confusion : elle ne veut pas dire que tout couple de points peutêtre relié par une suite ?-géodésique
, Proposition A.1.11. Soit ? > 0, et soit (X, d) un espace métrique ?-géodésique
,
,
, On se sert de la deuxième caractérisation dans le Théorème A.1.6 : il existe une géodésique partielle c : J ? X définie sur un J fini, avec 0, d(x, y) ? J, telle que c(0) = x et c(d(x, y)) =
, Alors c(t) ? {z ? X | d(x, z) ? I}. Nous retrouvons, dans certains cas
, Soit (X, d) un espace métrique où d està valeurs entières, Proposition A.1, vol.12
, Munissons de la structure de graphe simple, non orienté, où x et y sont reliés par une arête si et seulement si d(x, y) = 1
, Remarquons que dans un espace métrique où la distance est entière, une géodésique partielle est forcément définie sur une partie de Z. Et donc, si c : J ? X est une géodésique partielle avec J contenu et 1-coborné dans un segment [0, n] et tel que {0
, Un espace métrique complet est géodésique si et seulement s'il est ?-géodésique pour tout ? > 0
, Un espace complet (X, d) est ?-géodésique pour tout ? > 0 si et seulement si pour tout couple (x, y) ? X tel que x = y, ]x, y[ = ?, et d'après le Théorème A.1.8, si et seulement s'il est géodésique
, Soit ? > 0, et soient (X 1 , d 1 ) et (X 2 , d 2 ) deux espaces métriques ?-géodésiques. Alors l'espace X 1 × X 2 , muni de la distance d := ((x 1 , x 2 ), vol.1
,
, y := (y 1 , y 2 ) ? X 1 × X 2 tels que d(x, y) > ?, et cherchons z ?]x, y[. Si x 1 = x 2 , alors on a d 2 (y 1 , y 2 ) > ?, et donc par hypothèse
, A.2 Quelques outils de topologie et d'analyse fonctionnelle
, T i ) i?I une famille d'opérateurs continus L 1 (X, m) ? L 1 (X, m) tels que pour tout i ? I, la restriction de T ì a L 2 (X, m) (resp. L ? (X, m)) induit un opérateur borné auto-adjoint sur L 2 (X, m) (resp. un opérateur continu sur L ? (X, m)). Supposons que ?i ? I, T i ??? ? M . Alors ?i ? I, T i || 2?2 ? M
, Mais T 2 est auto-adjoint, et il est facile de voir qu
, Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème de Riesz-Thorin, et d'obtenir la borne souhaitée
, en se ramenant aux parties réelles et imaginaires, puis aux parties positives et négatives
, ?M, ??, ? ? L 2 + (X), | T ?, ? | ? M ? ? ) ? |||T ||| ? CM
, Alors T a une sous-suite qui converge, pour la topologie faible des opérateurs, vers un opérateur normal
, Si (X, B, µ) est un espace de probabilité sans atome, alors pour tout A ? X mesurable
, L'hypothèse que X est sans atome veut dire que pour toute partie B ? X mesurable telle que µ(B) > 0, il existe C ? B mesurable telle que 0 < µ(C) < µ(B)
, En effet, soit (x n ) n?N une suite d'éléments de I qui converge vers x. Montrons que x ? I. On peut supposer, quitteà extraire une soussuite, que (x n ) n est monotone. Si x ? I, définissons? := I ? {x} ? B prolongeant ?, et en posant?(x) := n ?(x n ) si (x n ) n est décroissante, et?(x) := n ?(x n ) si (x n ) n est croissante. D'après les propriétés de continuité de µ, µ(?(x)) = lim n x n = x, et d'après les propriétés de monotonie de µ,? est croissante.? est donc un prolongement de ? qui vérifie les mêmes propriétés, c'est absurde. Donc x ? I, et donc I est fermé. De plus, I vérifie ?a, b ? I, a < b ? (?c ? I, a < c < b) (on dit que l'ordre de I est dense). En effet, s'il existe a, b ? I tels que a < b et ]a, b[?I = ?, alors utilisons l'hypothèse que X n'a pas d'atome, ce qui fournit une partie C ? ?(b) \ ?(a) de mesure 0 < µ(C) < b ? a. Définissons alors? : I ? {a + µ(C)} prolongeant ? et en posant?(a + µ(C)) := ?(a) ? C. Alors µ(?)(a + µ(C)) = µ(?(a) ? C) = a + µ(C). De plus, d'après les propriétés de monotonie de µ,? est croissante, ? est croissante et ?i ? I, µ(?(i)) = i, et qui n'admet pas de prolongement vérifiantégalement ces propriétés
, Boréliens d'un produit et produits de boréliens Dans cette section, X et Y sont des espaces topologiques
, Df a au plus un prolongement par continuitéà X × X. Si Df se prolonge par continuitéà X × X, on dit que f est continûment conforme
, Soient (X, d), (Y, d ) des espaces métriques compacts sans points isolés
, d ) et g : (Y, d ) ? (Z, d ) sont continûment conformes, alors g ? f est continûment conforme, de facteur conforme |(g ? f ) (x)| = |g
, d ) est continûment conforme, alors f ?1 est continûment conforme, de facteur conforme |(f ?1 ) (y)| = |f
, Un théorème de changement de variables Si f : X ? Y est continûment conforme, que dire des images des mesures de Hausdorff par f ? C'est l'objet de cette section
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