, On va éclater la dernière singularité obtenue, qui est associée à la fonction : On a

, Un changement de variable permet d'obtenir la fonction ?(x, y, z) = zx + y 2 = 0 qui est encore une fois de valuation 2. C'est une équation de type A 1

. Dans-la-carte-u-=-1, ) (x, v, w) = w + v 2 = 0. un cercle. La diérentielle de ? (1) est non nulle en tout point où ? (1) = 0, et donc la surface (W ? (1) , {·, ·} W ? (1) ) est régulière et symplectique, par le second point du théorème 30

, On a donc obtenu par des éclatements successifs une résolution symplectique de (W ? k , {·, ·} ? k ) que l'on note

, Le point suivant est facile à vérier et sera important

. Preuve, Les fonctions lisses sur R 2 qui ne dépendent que de la variable b sont constantes sur les classes d'équivalences et donc sont dans C ? (R 2 / ?) par dénition des fonctions sur un objet géométrique

, Considérons une fonction g(a, b) de classe C ? constantes sur les classes d'équivalence

. Soient-les-fonctions-f,-h-?-c-?, On a g = h + f par construction, il reste donc à montrer que f est un élémént de C. Par le lemme 11, on sait déjà que pour tout i ? 1 : donc P * {? * f, ? * g} R 2 = P * ? * {f

, De plus, le morphisme d'algèbre P * est injectif, donc ? * est un morphisme de Poisson

, On note ? : Z 2k ? A 2k la résolution symplectique de A 2k qui a décrite en section 5

, Le corollaire 13 va maintenant être utilisé pour montrer le résultat très surprenant est suivant : Proposition 40. L'application ? ? ? est un morphisme d'objet lisse de (Z 2k , {·, ·} Z 2k ) vers

. Preuve and . Soit-f-?-c-?, Exemple d'un quotient de R 2 par un groupe inni et de sa résolution symplectique

/. {·, Théorème 31. L'application ? ? ? : Z 2k ? R 2 / ? est une résolution symplectique lisse de l'objet de Poisson

. Preuve, Cela découle de la proposition précédente, du fait que (Z k , {·, ·} Z k ) est symplectique, que ? est de Poisson ainsi que ?

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