Effective Convex Integration

Intégration convexe effective

Mélanie Theillière (1)

1 ICJ - Institut Camille Jordan

The aim of this thesis is to propose an effective version of Convex Integration Theory. This theory, developed by M. Gromov in the 70’s, allows to solve differential relations, i.e. partial differential equalities / inequalities. In this thesis, we introduce a formula called Corrugation Process. The key formula of the Convex Integration Theory can be substituted by this new formula. The expression of the Corrugation Process is interesting for the relations characterized in this thesis: the Kuiper relations. We show that this kind of relation appears in differential geometry, for example for immersions, for isometric immersions and for totally real maps. In particular, the results obtained in this thesis allow to build directly a new immersion of RP^2. The Corrugation Process and the notion of Kuiper relation offer a natural framework to study potential self-similarity properties. Such properties were already observed for the C^1-isometric embedding of a flat torus and of a reduced sphere built by the Hevea team. Precisely, in this thesis, we show a self-similarity property for some C^1-isometric totally real embeddings

Le but de cette thèse est de proposer une version effective de la théorie de l’intégration convexe. Cette théorie, inventée par M. Gromov dans les années 70, permet de résoudre des relations différentielles, i.e. des équations / inéquations aux dérivées partielles. Dans cette thèse, nous introduisons une formule appelée procédé de corrugation. Cette formule peut se substituer à la formule principale de la théorie de l’intégration convexe. L’expression de cette nouvelle formule est particulièrement intéressante pour des relations que nous caractérisons dans cette thèse : les relations de Kuiper. Nous montrons que ce type de relation se rencontre en géométrie différentielle, par exemple pour les immersions, les immersions isométriques et les applications totalement réelles. En particulier, les résultats obtenus dans cette thèse nous permettent de construire directement une nouvelle immersion de RP^2 . Le procédé de corrugation et les relations de Kuiper fournissent également un cadre propice à l’étude des propriétés d’auto-similarités observées dans les constructions de plongements C^1-isométriques d’un tore plat et d’une sphère réduite effectuées par l’équipe Hévéa. Précisément, nous montrons une propriété d’auto-similarité pour des plongements C^1-isométriques totalement réels

Mots clés: Convex Integration; Immersions; Isometric maps; Totally real maps; C^1-fractal

Mots clés: Intégration convexe; Immersions; Isométries; Applications totalement réelles; C^1-fractal

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]

Mélanie Theillière. Intégration convexe effective. Géométrie différentielle [math.DG]. Université de Lyon, 2019. Français. ⟨NNT : 2019LYSE1342⟩. ⟨tel-02524194⟩