Some applications of the geometry of toric surfaces over a finite field for arithmetic and information theory
Quelques retombées de la géométrie des surfaces toriques sur un corps fini sur l'arithmétique et la théorie de l'information
Résumé
A part of this thesis, at the interface between Computer Science and Mathematics, is dedicated to the study of the parameters ans properties of Goppa codes over Hirzebruch surfaces. From an arithmetical perspective, the question about number of rational points of a variety defined over a finite field, which seemed dealt with by Lefchetz formula, regained interest thanks to error correcting codes. The minimum distance of an algebraic-geometric codes provides an upper bound of the number of rational points of a hypersurface of a given variety and with a fixed Picard class. Since reducible curves are most likely to reach this bound, one can focus on irreducible curves to get sharper bounds. A global strategy to bound the number of points on a variety depending on its ambient space and some of its geometric invariants is exhibited here. Moreover we develop a method for curves on toric surfaces by adapting F.J. Voloch et K.O. Sthör's idea on toric varieties. Finally, we interest in Private Information Retrivial protocols, which aim to ensure that a user can access an entry of a database without revealing any information on it to the database owner. A PIR protocol based on codes over weighted projective planes is displayed here. It enhances other protocols by offering a resistance to servers collusions, at the expense of a loss of storage capacity. This issue is fixed by a lifting process, which leads to asymptotically good families of codes, with the same local properties.
Cette thèse, à la frontière entre les mathématiques et l'informatique, est consacrée en partie à l'étude des paramètres et des propriétés des codes de Goppa sur les surfaces de Hirzebruch. D'un point de vue arithmétique, la théorie des codes correcteurs a ravivé la question du nombre de points rationnels d'une variété définie sur un corps fini, qui semblait résolue par la formule de Lefschetz. La distance minimale de codes géométriques donne un majorant du nombre de points rationnels d'une hypersurface d'une variété donnée et de classe de Picard fixée. Ce majorant étant le plus souvent atteint pour les courbes très réductibles, il est naturel de se concentrer sur les courbes irréductibles pour affiner les bornes. On présente une stratégie globale pour majorer le nombre de points d'une variété en fonction de son ambiant et d'invariants géométriques, notamment liés à la théorie de l'intersection. De plus, une méthode de ce type pour les courbes d'une surface torique est développée en adaptant l'idée de F.J Voloch et K.O. Sthör aux variétés toriques. Enfin, on s'intéresse aux protocoles de Private Information Retrivial, qui visent à assurer qu'un utilisateur puisse accéder à une entrée d'une base de données sans révéler d'information sur l'entrée au propriétaire de la base de données. Un protocole basé sur des codes sur des plans projectifs pondérés est proposé ici. Il améliore les protocoles existants en résistant à la collusion de serveurs, au prix d'une grande perte de capacité de stockage. On pallie ce problème grâce à la méthode du lift qui permet la construction de familles de codes asymptotiquement bonnes, avec les mêmes propriétés locales.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
Loading...