A study of hierarchical watersheds on graphs with applications to image segmentation
Une étude sur les hiérarchies de ligne de partage des eaux et ses applications dans la segmentation d’image
Résumé
The wide literature on graph theory invites numerous problems to be modeled in the
framework of graphs. In particular, clustering and segmentation algorithms designed in
this framework can be applied to solve problems in various domains, including image
processing, which is the main field of application investigated in this thesis. In this
work, we focus on a semi-supervised segmentation tool widely studied in mathematical
morphology and used in image analysis applications, namely the watershed transform.
We explore the notion of a hierarchical watershed, which is a multiscale extension of the
notion of watershed allowing to describe an image or, more generally, a dataset with
partitions at several detail levels. The main contributions of this study are the following:
- Recognition of hierarchical watersheds: we propose a characterization of hierarchical
watersheds which leads to an efficient algorithm to determine if a hierarchy is a
hierarchical watershed of a given edge-weighted graph.
- Watersheding operator: we introduce the watersheding operator, which, given an
edge-weighted graph, maps any hierarchy of partitions into a hierarchical watershed
of this edge-weighted graph. We show that this operator is idempotent and its fixed
points are the hierarchical watersheds. We also propose an efficient algorithm to
compute the result of this operator.
- Probability of hierarchical watersheds: we propose and study a notion of probability
of hierarchical watersheds, and we design an algorithm to compute the probability
of a hierarchical watershed. Furthermore, we present algorithms to compute the
hierarchical watersheds of maximal and minimal probabilities of a given weighted
graph.
- Combination of hierarchies: we investigate a family of operators to combine hierarchies
of partitions and study the properties of these operators when applied to
hierarchical watersheds. In particular, we prove that, under certain conditions, the
family of hierarchical watersheds is closed for the combination operator.
- Evaluation of hierarchies: we propose an evaluation framework of hierarchies, which
is further used to assess hierarchical watersheds and combinations of hierarchies.
In conclusion, this thesis reviews existing and introduces new properties and algorithms
related to hierarchical watersheds, showing the theoretical richness of this framework
and providing insightful view for its applications in image analysis and computer
vision and, more generally, for data processing and machine learning.
La littérature abondante sur la théorie des graphes invite de nombreux problèmes à être
modélisés dans ce cadre. En particulier, les algorithmes de regroupement et de segmentation
conçus dans ce cadre peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes dans de
nombreux domaines tels que l’analyse d’image qui est le principal domaine d’application
de cette thèse. Dans ce travail, nous nous concentrons sur un outil de segmentation semisupervisé
largement étudié dans la morphologie mathematique et appliqué à l’analyse
d’image, notamment les Ligne de Partage des Eaux (LPE). Nous étudions la notion de
hiérarchie de LPE, qui est une extension multi-échelle de la notion de LPE permettant
de décrire une image ou, plus généralement, un ensemble de donnés par des partitions
à plusieurs niveaux de détail. Les contributions principales de cette étude sont les suivantes:
- Reconnaissance de hiérarchies de LPE : nous proposons une caractérisation des
hiérarchies de LPE qui mène à un algorithme efficace pour déterminer si une hiérarchie
est une hiérarchie de LPE d’un graphe donné.
- Opérateur watersheding : nous présentons l’opérateur watersheding, qui, étant
donné un graphe pondéré, associe n’importe quelle hiérarchie à une hiérarchie de
LPE de ce graphe. Nous montrons que cet opérateur est idempotent et que ses
points fixes sont les hiérarchies de LPE. Nous proposons également un algorithme
efficace pour calculer le résultat de cet opérateur.
- Probabilité de hiérarchies de LPE : nous proposons et étudions une notion de
probabilité d’une hiérarchie de LPE, et nous concevons un algorithme pour calculer
la probabilité d’une hiérarchie de LPE. De plus, nous présentons des algorithmes
pour calculer des hiérarchies de LPE de probabilité minimale et maximale pour un
graphe pondéré donné.
- Combinaison de hiérarchies : nous étudions une famille d’opérateurs pour combiner
des hiérarchies de partitions et nous étudions les propriétés de ces opérateurs
lorsqu’ils sont appliqués à les hiérarchies de LPE. En particulier, nous prouvons
que, dans certaines conditions, la famille des hiérarchies de LPE est fermée pour
l’opérateur de combinaison.
- Évaluation de hiérarchies : nous proposons un cadre d’évaluation de hiérarchies,
qui est également utilisé pour évaluer les hiérarchies de LPE et les combinaisons
des hiérarchies.
En conclusion, cette thèse révise des propriétés existantes et des nouvelles propriétés
liées aux hiérarchies de LPE, montrant la richesse théorique de ce cadre et fournissant
une vue d’ensemble des ses applications dans l’analyse d’image et dans la vision par
ordinateur et, plus généralement, dans le traitement de donnés et dans l’apprentissage
automatique.
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