Numerical methods for the study of fluctuations in multi-scale materials and related problems
Méthodes numériques pour l’étude des fluctuations dans les matériaux multi-échelles et problèmes reliés
Résumé
This thesis is about the numerical approximation of multi-scale materials. We consider heterogeneous materials whose physical or mechanical (thermal conductivity, elasticity tensor, . . . ) vary on a small scale compared to the material length. This thesis is composed of two parts describing two different aspects of multiscale
problems.
In the first part, we consider the stochastic homogenization framework. The aim here is to go beyond the identification of an effective behavior, by attempting to characterize the fluctuations of the response. Generally speaking we strive to understand: (i) what parameters of the distribution of the material coefficient affect the distribution of the response and (ii) if it is possible to approximate this distribution without resorting to a costly Monte-Carlo method. On the theoretical standpoint, we consider a weakly random material (the micro-structure is periodic and presents some small random defects). We show that we are able to compute a tensor Q that governs completely the fluctuations of the response, thanks to the use of standard corrector functions from the stochastic homogenization theory. This tensor is defined by an explicit formula and allows us to estimate the fluctuation of the response without solving the fine problem for many realizations. A numerical approximation of this tensor has been proposed and numerical experiments have been performed in broader random frameworks to assess the effectiveness of the approach.
In the second part, we consider a heterogeneous deterministic material where classical homogenization (periodicity, . . . ) assumptions are not satisfied. Standard methods such as Finite Elements give bad approximations. In order to solve this issue the Multiscale Finite Element Method (MsFEM) can be used. This approach proceeds in two steps: (i) design a coarse approximation space spanned by solutions to well-chosen local problems; (ii) approximate the solution by an inexpensive Galerkin approach on the space designed in (i). On this topic, we first implemented the main variants of the MsFEM methods in the Finite Element software FreeFem++ on template form. Second, many MsFEM approaches suffer from resonance error: when the size of the heterogeneities is close to the coarse mesh size the accuracy decreases. In order to circumvent this issue, we designed an enriched MsFEM method: to the classical Ms-FEM basis, we add solutions to local problems with high degree polynomial boundary conditions. The use of polynomials allows us to obtain a converging approach for a limited computational cost.
Le travail de cette thèse a porté sur la simulation numérique des matériaux multi-échelles. On considère des matériaux hétérogènes dont les propriétés physiques ou mécaniques (conductivité thermique, tenseur d’élasticité, . . .) varient à une échelle petite par rapport à la taille du matériau. La thèse s’articule en deux parties qui correspondent
à deux aspects différents des problèmes multi-échelles.
Dans la première partie, on se place dans le cadre de l’homogénéisation aléatoire et on s’intéresse à une question plus fine que la caractérisation d’un comportement moyen : on cherche à étudier les fluctuations de la réponse. Plus généralement, nous visons à comprendre : (i) quels paramètres de la distribution des coefficients du matériau à
l’échelle fine affectent la distribution de la réponse à l’échelle macroscopique, et (ii) s’il est possible d’estimer cette distribution sans utiliser une méthode type Monte-Carlo, très couteuse. Sur le plan théorique, nous avons considéré un matériau faiblement aléatoire (micro-structure périodique avec ajout d’une perturbation aléatoire petite). Nous avons montré qu’en utilisant le correcteur standard issu de la théorie de l’homogénéisation aléatoire, nous sommes capables de calculer un tenseur Q qui gouverne complètement les fluctuations de la réponse. Ce tenseur, défini par une formule explicite, permet d’estimer la fluctuation de la réponse sans résoudre le problème Vn pour de nombreuses réalisations. Une stratégie d’approximation numérique de ce tenseur a ensuite été développée et testée numériquement dans des cas plus généraux.
Dans la deuxième partie de la thèse, on considère un matériau hétérogène déterministe fixé où les hypothèses classiques d’homogénéisation (périodicité, . . .) ne sont pas vérifiées. Les méthodes de résolution standard type Éléments Finis donnent de mauvaises approximations. Pour pallier cette difficulté, la Méthode des Éléments Finis
Multi-échelles (MsFEM) a été introduite il y une vingtaine d’année. La méthode MsFEM se décompose en deux étapes : (i) créer un espace d’approximation grossier engendré par les solutions de problèmes locaux bien choisis ; (ii) approximer la solution avec une approche de Galerkine peu couteuse sur l’espace construit dans (i).
Dans cette deuxième partie, plusieurs taches ont été réalisées. Tout d’abord, une implémentation de plusieurs variantes MsFEM a été effectuée sous forme de template dans le logiciel de calcul Éléments Finis FreeFem++. Par ailleurs, plusieurs variantes des MsFEM pâtissent d’une erreur dite de résonance : lorsque la taille des hétérogénéités
est proche de la taille du maillage grossier, la méthode devient très imprécise. Pour pallier ce problème, une méthode MsFEM enrichie a été développée : à la base MsFEM classique on rajoute des solutions de problèmes locaux ayant pour conditions aux limites des polynômes de haut degré. L’utilisation de polynômes nous permet d’obtenir une convergence de l’approche à des coûts de calcul raisonnables.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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