, 91 6.1.2 Cas particulier avec dépendance fréquence-amortissement, p.92

. .. , 92 6.2.2 Traitement de la partie non linéaire H nl, Réécriture de la HBM pour solutions pseudo-périodiques

. .. Pgd/hbm, 94 6.3.1 Modification du sous-problème T m

. Prérequisà and . .. De-mnls, 2.2 Méthode du mode non linéaire résonant unique, p.105

. .. Quelques and . Peter,

. .. Synthèseà-phase-unique-retenue, 107 7.4.1 Considérations sur la phase ?

, Une autre thématique qui fait directement suiteà la synthèse modale réduite présentée dans ces travaux est celle des systèmes dynamiques non linéaires stochastiques. En considérant un ou plusieurs paramètres comme des variables aléatoires

, portant notamment sur l'utilisation du chaos polynomial pour propager les incertitudes, une méthode de calcul rapide d'un "faisceau de densité de probabilité

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, Allure du taux d'amortissement modal suivant la pulsation dans le cas d'un amortissement de Rayleigh

, Effort non linéaire f nl = T en fonction de la vitesse relative? rel . Bleu : cas non régularisé. Rouge : Quelques cas régularisés pour des valeurs du paramètre ? décroissantes

, Schéma de principe d'un contact unilatéral et effort non linéaire associé, p.14

, Schéma de principe d'un contact bilatéral symétrique et effort non linéaire associé 15

. .. Quelques, , p.16

, Quelques portraits de phase de l'oscillateur harmonique (a) Cas de lâcher (b) Cas f e (t) = A cos (?t) (c) Exemple de réponse quasi-périodique. Rouge : Cycles limites théoriques

, Schéma des portraits de phase des points fixes, vol.19

, Flèches : franchissement du cercle unité lorsque le paramètre de continuation ? varie, Schéma des bifurcations de cycles limites possibles

, Mode non linéaire de l'oscillateur de Duffing unitaire pour différentes valeurs de raideur cubique ?

, 04 kg.s ?1 , ? = 1 N.m ?3 et différentes valeurs de f e : 0.01 N, 0.05 N et 0.1

, Résonance principale de l'oscillateur de Duffing pour f e = 0.5 N : zones de stabilité et solutions multiples. Rouge : zone instable d'après Floquet. Flèches : sauts de solution lors d'un balayage

. .. , Système masses-ressorts de taille 2à non linéarité cubique, p.27

, Fonction de réponse en fréquence du système masses-ressortsà 2 ddls, p.28

, Schéma de principe d'une branche de solutions suivie par continuation, p.36

, Prédiction sécante (b) Prédiction polynomiale d'ordre supérieur (c) Prédiction tangente

, Correction par Newton (b) Correction par longueur d'arc (c) Correction par pseudo-longueur d'arc

, Illustration du principe général de continuation par prédiction-correction, p.39

, Pointillés : solution exacte du système. Trait continu : tracé de la série de Taylor tronquée

, Un tronçon est défini par une série de Taylor et son rayon de convergence utile s max associé, p.42

, La relation de périodicité est la même, mais si l'une des fonctions est solution d'un système autonome, l'autre l'est aussi. La détermination d'un temps de référence dans l'équation de phase force l'unicité de la solution, Tracé des fonctions 2?-périodiques cos (t) (bleu) et cos (t + t 0 ) (rouge)

, Schéma de principe de la méthode Alternating Frequency Time (AFT), p.51

, Poutre encastrée-libre avec ressort cubique au bout, avec grandeurs physiques utilisées pour la POD

, Diagramme (partiel) de bifurcation du MNL1 de la poutre encastrée-libre

, Encastrement (x = 0)à droite

, Contenu spatio-temporel eténergétique des modes POD pour la branche (1) (ordre des POMs 1-4 : bleu, rouge, jaune, violet)

, Contenu spatio-temporel eténergétique des modes POD pour la branche (2) (ordre des POMs 1-4 : bleu, rouge, jaune, violet)

, Contenu spatio-temporel eténergétique des modes POD pour la branche (3) (ordre des POMs 1-4 : bleu, rouge, jaune, violet)

. .. , POM : bleu, Mode propre linéaire : rouge. (a) Cas de la branche (1) ; (b) Cas de la branche (2), Comparaison POMs/modes de même ordre, p.58

. .. , Schéma de principe d'une continuation de MNL par approche PGD/HBM. Carrés : points solutions pour lesquels un mode PGD aété ajouté, p.81

M. .. Schéma-de-principe-d'un-fep-pour-le-tracé-de-branches-de, , vol.83

, Schéma de principe d'une continuation de MNL amorti par approche PGD/HBM. Carrés : points solutions pour lesquels un mode PGD aété ajouté, p.95

, Choix de la phase -Cas 1 -Première résonance du systèmeà 2 ddls représentée par harmonique

, Choix de la phase -Cas 2 -Première résonance du systèmeà 2 ddls représentée par harmonique

, Choix de la phase -Valeurs de s et ? obtenuesà partir de la référence MAN par minimisation de l'erreur. Colonne gauche : cas de la phase telle que retenue (cas 2), Colone droite : cas de la phase identique pour toutes les harmoniques, p.111

. .. Schéma-du-modèle-de-portique-de-roorda, 125 9.2 FEP du MNL1 du portique de Roorda, par PGD/HBM (bleu) et par MAN (noir). Carrés : points où un mode PGD est ajouté. Lesévolutions de x 13 (noir) et y 39 (rouge) représentent le déplacement transverse en les milieux de poutres, p.126

, 3Évolution de l'erreur ? et de la taille réduite m liéeà la PGD/HBM le long de la continuation. N pt est l'indice du point solution sur la branche, p.127

, Allures du premier mode linéaire ? 1 et de la dérivée de modale ? 11 du portique de Roorda. Pointillés : configuration non déformée

P. Modes, Contenu de la matrice spatiale P en pPGD -Normalisationà 1cm du max

. .. , Participations des modes linéaires pour le mode PGD 2, p.129

, 129 9.8Évolution du mode PGD 2 obtenu sans blocage des formes, en oPGD -Normalisationà 1 cm du maximum en flexion, Contenu harmonique des modes obtenus par pPGD sur le portique de Roorda. Code couleur de la Fig, vol.9

. .. , Schéma du système masses-ressortsà frottement sec, p.132

. .. Erreur, , p.135

, Système masse-ressorts de taille 2à non linéarités géométriques, p.136

, FRF autour de la première résonance du systèmeà non linéarités géométriques, tracée avec les solveurs de synthèse modaleà partir de MNLs amortis ou non, p.136

, FRF autour de la résonance du systèmeà non linéarités géométriques dont un tracé obtenu par synthèse modale non linéaireà partir du mode linéaire sous-jacent

. .. , Première résonance du systèmeà non linéarités géométriques représentée par harmonique, pour le ddl 1 dans le cadre d'une synthèse modale via MNL non amorti, Bleu et rouge (traits continus) : resp. cosinus et sinus obtenus par synthèse. Jaune et violet (pointillés) : resp. cosinus et sinus obtenus par la MAN, p.138

, Amplitude modale en fonction de la pulsation d'excitation (b) Phase en fonction de la pulsation d'excitation (c) Amplitude modale en fonction de la phase, Solutions obtenues par le solveur réduit de synthèse non linéaireà partir du MNL amorti. (a)

, Indices des points de MNL (amorti) utilisés pour l'interpolation lors du calcul d'un point de FRF. Bleu : points avec s 1 directement inférieurà s interpolé. Rouge : points avec s 2 directement supérieurà s interpolé

, Performances du solveur de synthèse non linéaires pour le systèmeà non linéarités géométriques. (a)Évolution de l'erreur faite par solveur de Newton (b)Évolution du nombre d'itérations de Newton I

, FRF autour de la première résonance du systèmeà non linéarités géométriques, tracée avec le solveur de synthèse modale définià partir de l'erreur dynamique ? et avec injection du MNL1 amorti

. .. , 145 10.2 Poutreà ressort de bout cubique, MNL1 non amorti par oPGD -(a) FEP (b) Déformée modaleà vitesse nulle pour 3 points de la continuation (c) Nombre m de modes PGD selon l'indice du point N pt (d) Erreur ? selon l'indice du point N pt . Carrés : points où un mode PGD est ajouté, Poutre d'Euler-Bernoulli encastrée-libre (a) avec ressort transverse cubique sur le ddl 1 (b) avec jeu transverse entre le ddl 1

, Poutreà ressort de bout cubique, MNL1 non amorti par oPGD -Analyse du contenu spatial des modes PGD. Ligne 1 : formes des modes PGD, avec normalisation au maximum de déflexion. Pointillés : forme lorsque le mode est introduit

, Ligne 2 : Participations des modes linéaires dans chaque mode PGD. Croix : participation lorsque le mode PGD est introduit, p.148

, Poutreà ressort de bout cubique, MNL1 non amorti par oPGD -Amplitudes des coefficients de Fourier (en cosinus) des modes PGD. Croix : coefficients lorsque le mode est introduit, p.149

, MNL1 non amorti par pPGD -(a) FEP (b) Déformée modaleà vitesse nulle pour 3 points de la continuation (c) Nombre m de modes PGD selon l'indice du point N pt (d) Erreur ? selon l'indice du point N pt . Carrés : points où un mode PGD est ajouté

, MNL1 non amorti par pPGD -Analyse du contenu spatial des modes PGD. (a) Formes des modes PGD, avec normalisation au maximum de déflexion. (b) Participations des modes linéaires dans chaque mode PGD. Dans chaque groupe de barres, les modes linéaires sont indexés par ordre croissant jusqu'au mode 10

, MNL1 non amorti par pPGD -Amplitudes des coefficients de Fourier (en cosinus) des modes PGD. Croix : coefficients lorsque le mode est introduit ; Cercles : coefficients en fin de branche, p.151

, MNL1 amorti par pPGD -(a) FEP (b) Amortissement modal en fonction de l'énergie mécanique conservative (c) Nombre m de modes PGD selon l'indice du point N pt (d) Erreur ? selon l'indice du point N pt . Carrés : points où un mode PGD est ajouté

, 156 10.10Poutre avec contact unilatéral, MNL1 conservatif par oPGD -(a) FEP de la branche principale (trait continu) et de quelques résonances internes (pointillés) (b) Nombre m de modes PGD selon l'indice du point N pt (c) Erreur ? selon l'indice du point N pt . Carrés : points où un mode PGD aété ajouté, FRF autour de la première résonance de la poutreà ressort cubique, tracée avec les 3 solveurs de synthèse modaleétudiés :à partir de MNLs amortis ou non, et définià partir de l'erreur dynamique ?, p.157

, Colonne de gauche : formes des modes PGD, avec normalisation au maximum de déflexion. Pointillés : forme lorsque le mode est introduit

, Colonne de droite : participations des modes linéaires dans chaque mode PGD. Croix : participations lorsque le mode est introduit ; Cercles : participations en fin de branche (N pt = 199, p.160

, 10.12Poutre avec contact unilatéral, MNL1 conservatif par oPGD -Amplitudes des coefficients de Fourier (en cosinus) des modes PGD. Croix : coefficients lorsque le mode est introduit ; Cercles : coefficients en fin de branche (N pt = 199), p.161

C. ,

, C

, Liste des tableaux

, Liste de méthodes spectrales parmi les plus classiques ; classées par bases de réduction/projection, respectivement ? et ?

, Propriétés géométriques, mécaniques et dynamiques du portique de Roorda, p.125

. Paramètres, Algorithme 3 pour le MNL 1 du portique de Roorda (pPGD)

. Paramètres, Algorithme 3 pour le MNL 1 du portique de Roorda propres au cas oPGD

, Nombre de points de MNL par tronçon de taille m donnée (gauche) ; Nombre total de variables de la branche de MNL (droite)

. .. De-roorda, Moyenne,écart type et maximum des nombres d'itérations pour T m, p.131

. .. , Propriétés physiques du systèmeà 2 ddlsà frottement sec, p.132

, Propriétés modales des systèmes linéaires associés au problèmeà 2 ddlsà frottement sec

. Paramètres, Algorithme 3 pour le MNL 1 du systèmeà frottement sec, p.134

, Propriétés physiques du systèmeà 2 ddlsà non linéarités géométriques, p.136

. .. , Paramètres algorithmiques utilisés par l'Algorithme 4 pour tracer la première résonance du systèmeà non linéarités géométriques, p.137

, Pulsations propres de la poutre encastrée-libre avec ou sans ressort de bout, p.145

, Algorithme 3 pour le cas de la poutreà ressort de bout cubique

, Dernière ligne : la référence pour le nombre de points et la taille m est celle du calcul par pPGD/HBM, Comparaison entre le nombre de descripteurs requis pour la pPGD/HBM, la oPGD/HBM et la HBM classique pour la poutreà ressort cubique

, Moyenne,écart type et maximum du nombre d'itérations de Newton pour les sous-problèmes T m et S m le long de la

, Moyenne,écart type et extrema de propriétés numériques pour les 25 essais aléatoires

. Paramètres, Algorithme 3 pour le MNL1 amorti de la poutreà ressort cubique, p.155

, Algorithme 4 pour tracer la première résonance de la poutreà ressort cubique, Paramètres algorithmiques utilisés par l

, Algorithme 3 pour le cas de la poutreà contact unilatéral. Ligne 1 : oPGD ; Ligne 2 : pPGD

, Comparaison entre le nombre de descripteurs requis pour la pPGD/HBM, la oPGD/HBM et la HBM classique pour l'exemple de poutreà contact unilatéral. La référence pour les points solutions utilisés sont ceux du cas pPGD/HBM, p.159

, 10.10Moyenne,écart type et maximum du nombre d'itérations pour les sous-problèmes T m et S m le long de la continuation