Coarse Lipschitz embeddings and almost Lipschitz embeddings into Banach spaces
Plongements grossièrement Lipschitz et presque Lipschitz dans les espaces de Banach
Résumé
The central theme of this thesis is the study of embeddings of metric spaces into Banach spaces.The first study focuses on the coarse Lipschitz embeddings between James Spaces Jp for p≻1 and p finite. We obtain that, for p,q different, Jq does not coarse Lipschitz embed into Jp. We also obtain, in the case where q≺p, that the compression exponent of Jq in Jp is lower or equal to q/p. Another natural question is to know whether we have similar results for the dual spaces of James spaces. We obtain that, for p,q different, Jp* does not coarse Lipschitz embed into Jq*. Further to this work, we establish a more general result about the coarse Lipschitz embeddability of a Banach space which has a q-AUS norm into a Banach space which has a p-AMUC norm for p≺q. With the help of a renorming theorem, we deduce also a result about the Szlenk index. Moreover, after defining the quasi-Lipschitz embeddability, which is slightly different to the almost Lipschitz embeddability, we obtain the following result: For two Banach spaces X, if X is crudely finitely representable with constant C (where C≻1) in any subspace of Y of finite codimension, then every proper subset M of X quasi-Lipschitz embeds into Y. To conclude, we obtain the following corollary: Let X be a locally minimal Banach space, and Y be a Banach space which is crudely finitely representable in X. Then, for M a proper subspace of Y, M quasi-Lipschitz embeds into X.
Le thème central de cette thèse est l'étude de plongements d'espaces métriques dans des espaces de Banach. La première étude concerne les plongements grossièrement Lipschitz entre les espaces de James Jp pour p≻1 et p fini. On obtient que, pour p,q différents, Jq ne se plonge pas grossièrement Lipschitz dans Jp. Nous avons également obtenu, dans le cas où q≺p, une majoration de l'exposant de compression de Jq dans Jp par q/p. La question naturelle qui se pose ensuite est de savoir si le résultat obtenu pour les espaces de James est vrai aussi en ce qui concerne leurs duaux. Nous obtenons que, pour p,q différents, Jp* ne se plonge pas grossièrement lipschitz dans Jq*. Suite à ce travail, on établit des résultats plus généraux sur la non-plongeabilité des espaces de Banach q-AUS dans les espaces de Banach p-AMUC pour p≺q. On en déduit aussi, à l'aide d'un théorème de renormage, un résultat sur les indices de Szlenk. Par ailleurs, on obtient un résultat sur la plongeabilité quasi-Lipschitz dont la définition diffère légèrement de la plongeabilité presque Lipschitz : pour deux espaces de Banach X et Y, si, pour C≻1, X est C-finiment crûment représentable dans tout sous-espace vectoriel de codimension finie de Y, alors tout sous-espace propre M de X se plonge quasi-Lipschitz dans Y. Pour conclure, on obtient le corollaire suivant : soient X et Y deux espaces de Banach tels que X est localement minimal et Y est finiment crûment représentable dans X. Alors, pour M sous-espace propre de Y, M se plonge quasi-Lipschitz dans X.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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