, Automates boustrophédons sur les semi-anneaux et les bi-monoïdes localement finis

, En effet, si l'on considère un mot w arrivant dans un tel état c, le calcul unique (l'automate est déterministe) arrivant en c sur ce mot simule l'ensemble des calculs de A sur w, puisque c'est ce que fait B et qu'il s'agit juste d'une déterminisation modulo l'ordre, déterminisation qui conserve donc les poids. Ainsi, comme tous les calculs pour w sont bien représentés par la description de l'état c, la non sommabilité de c implique la non validité de A. On a donc également que si le poids final de c est défini, S'il existe des états dont le poids final n'est pas défini, i.e. qui décrivent une famille non sommable, alors l'automate boustrophédon original A n'est pas valide

, Remarque 29. L'ensemble des mots qui rendent non valide un automate boustrophédon sur K, un bi-monoïde fort localement fini

, Conclusion Ainsi, on a montré que, comme dans le cas booléen, les séries réalisées par les automates boustrophédons sur les bi-monoïdes forts finis étaient exactement celles réalisées par les automates unidirectionnels. Cependant, on peut remarquer que dans le cas général, avec un automate boustrophédon avec n états forward et n états backward , pondéré sur un bimonoïde localement fini d'ordre (m, r), la taille de l'automate unidirectionnel équivalent que nous obtenons grâce à cette construction est de

M. Anselmo, Two-way automata with multiplicity, Notes in Comput. Sci, pp.88-102, 1990.

M. Anselmo and A. Bertoni, Two-way probabilistic automata and rational power series, Proc. IV Conv, pp.9-23, 1992.

V. Antimirov, Partial derivatives of regular expressions and finite automaton constructions. Theor, Comp. Sci, vol.155, issue.2, pp.291-319, 1996.

J. Berstel and C. Et-reutenauer, Noncommutative Rational Series with Applications, tome 137 de Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 2010.

J. Birget, Concatenation of inputs in a two-way automaton, Theor. Comput. Sci, vol.63, issue.2, pp.141-156, 1989.

J. Birget, Two-way automaton computations, RAIRO Theor. Inf. and Appl, vol.24, pp.47-66, 1990.

P. Caron and M. Flouret, Glushkov construction for series : The non commutative case, Int. J. Comput. Math, vol.80, issue.4, pp.457-472, 2003.

O. Carton, Two-way transducers with a two-way output tape, Notes in Comput. Sci, pp.263-272, 2012.

J. Champarnaud, . Laugerotte, . Éric, . Ouardi, and D. Et-ziadi, From regular weighted expressions to finite automata, Proc. of CIAA 2003, tome 2759 de LNCS, pp.49-60, 2003.

. Bibliographie,

J. H. Conway, Regular Algebra and Finite Machines, 1971.

L. Dando, . Lombardy, and . Sylvain, From hadamard expressions to weighted rotating automata and back, International Conference on Implementation and Application of Automata, pp.163-174, 2017.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01544105

L. Dando, . Lombardy, and . Sylvain, On Hadamard Series and Rotating Q-Automata, Mathematical Foundations of Computer Science, MFCS 2018, tome 117 de 43rd International Symposium on Mathematical Foundations of Computer Science (MFCS 2018), vol.6, pp.1-6, 2018.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01866198

I. Potapov, P. Spirakis, and J. Worrell, Schloss Dagstuhl, Liverpool

L. Dando, . Lombardy, and . Sylvain, Two-way automata over locally finite semirings, International Conference on Descriptional Complexity of Formal Systems, pp.62-74, 2018.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01866160

S. Eilenberg, Automata, languages, and machines, 1974.

Z. Ésik and W. Kuich, Rationally additive semirings, J. UCS, vol.8, issue.2, pp.173-183, 2002.

M. Fliess, Matrices de hankel, J. Math. Pures Appl, vol.53, issue.9, pp.197-222, 1974.

B. Guillon, Two-wayness : Automata and Transducers, 2016.

L. Ilie and S. Yu, Follow automata, Inf. Comput, vol.186, issue.1, pp.140-162, 2003.

S. C. Kleene, Representation of events in nerve nets and finite automata. Automata Studies, pp.3-41, 1956.

S. Lombardy, Two-way representations and weighted automata, RAIRO -Theor. Inf. and Appl, vol.50, issue.4, pp.331-350, 2016.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01187754

S. Lombardy and J. Sakarovitch, Derivatives of rational expressions with multiplicity, Theor. Comp. Sci, vol.332, issue.1-3, pp.141-177, 2005.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00017202

L. Molinari and . Guido, Determinants of block tridiagonal matrices. Linear algebra and its applications, vol.429, pp.2221-2226, 2008.

. Bibliographie,

A. Paz, Introduction to Probabilistic Automata, Computer Science and Applied Mathematics), 1971.

J. Pécuchet, Automates boustrophedon, semi-groupe de birget et monoide inversif libre, RAIRO Theor. Inf. and Appl, vol.19, issue.1, pp.71-100, 1985.

D. Perrin, Les débuts de la théorie des automates, Technique et science informatiques, vol.14, issue.4, pp.409-433, 1995.

M. O. Rabin and D. Scott, Finite automata and their decision problems, IBM J. Res. Dev, vol.3, issue.2, pp.114-125, 1959.

J. Sakarovitch, Elements of Automata Theory, 2009.

M. Schützenberger, On the definition of a family of automata, Inform. and Control, vol.4, pp.245-270, 1961.

M. Schützenberger, On a theorem of R, Jungen. Proc. Amer. Math. Soc, vol.13, issue.6, pp.885-890, 1962.

J. C. Shepherdson, The reduction of two-way automata to one-way automata, IBM J. Res. Dev, vol.3, issue.2, pp.198-200, 1959.

J. R. Stallings, Topology of finite graphs. Inventiones mathematicae, vol.71, pp.551-565, 1983.

K. Thompson, Programming techniques : Regular expression search algorithm, Communications of the ACM, vol.11, issue.6, pp.419-422, 1968.

D. Ziadi, J. Ponty, and J. Et-champarnaud, Passage d'une expression rationnelle à un automate fini non-déterministe, Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin, vol.4, issue.1, pp.177-203, 1997.