, Automates boustrophédons sur les semi-anneaux et les bi-monoïdes localement finis
, En effet, si l'on considère un mot w arrivant dans un tel état c, le calcul unique (l'automate est déterministe) arrivant en c sur ce mot simule l'ensemble des calculs de A sur w, puisque c'est ce que fait B et qu'il s'agit juste d'une déterminisation modulo l'ordre, déterminisation qui conserve donc les poids. Ainsi, comme tous les calculs pour w sont bien représentés par la description de l'état c, la non sommabilité de c implique la non validité de A. On a donc également que si le poids final de c est défini, S'il existe des états dont le poids final n'est pas défini, i.e. qui décrivent une famille non sommable, alors l'automate boustrophédon original A n'est pas valide
, Remarque 29. L'ensemble des mots qui rendent non valide un automate boustrophédon sur K, un bi-monoïde fort localement fini
, Conclusion Ainsi, on a montré que, comme dans le cas booléen, les séries réalisées par les automates boustrophédons sur les bi-monoïdes forts finis étaient exactement celles réalisées par les automates unidirectionnels. Cependant, on peut remarquer que dans le cas général, avec un automate boustrophédon avec n états forward et n états backward , pondéré sur un bimonoïde localement fini d'ordre (m, r), la taille de l'automate unidirectionnel équivalent que nous obtenons grâce à cette construction est de
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