, Définition 6.1. Soit ? un espace topologique séparé, soit (h t ) un flot agissant sur ?. On dit que le système dynamique (?, h t ) est topologiquement mélangeant si pour tous ouverts non vides U, V ? ?, il existe un temps T > 0à partir duquel
, Cette propriété entraîne la transitivité topologique. Soit G un groupe de Lie semisimple, connexe, réel linéaire de type non-compact et soit ? un sous-groupe discret
, le système dynamique (?\G, ? t ? ) est topologiquement mélangeant pour tout ? ? = 0
Lorsque G est de rang 1 et ? est nonelémentaire, rappelons que ?(?) estégal au spectre marqué des longueurs de ?\G/K et l'espace des chambres de Weyl ?\G/M correspond au fibré unitaire tangent T 1 ?\G/K. Dans le cadre des variétésà courbure strictement négatives majorées par ? ?1, dont font partie les espaces localement symétriques de rang 1 ,
, La non-arithméticité du spectre marqué des longueurs
, Le mélange topologique du flot géodésique sur son ensemble non-errant
, L'existence d'une variété fortement stable dense pour le flot géodésique
On ne démontre cependant pas qu'elles sontéquivalentes. Y. Benoist [Ben00] et I. Kim [Kim06] ont démontré que pour tout sous-semigroupe ? Zariski dense dans G, le sous-groupe engendré par ?(?) est dense dans a ,
, A') ? est un sous-groupe discret, Zariski dense de G, agissant proprement discontinuement sur G/K
, on va remplacer le flot géodésique par certain flots directionnels des chambres de Weyl, Compte tenu des Propositions 5.9, 5.17 de transitivité topologique
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