, On dit que le système dynamique (?, h t ) est topologiquement mélangeant si pour tous ouverts non vides U, V ? ?, il existe un temps T > 0à partir duquel, Définition 6.1. Soit ? un espace topologique séparé, soit (h t ) un flot agissant sur ?
, Zariski dense de G. Lorsque ? est un réseau irréductible de G, d'après le Théorème de Howe-Moore, le système dynamique (?\G, ? t ? ) est topologiquement mélangeant pour tout ? = 0. On supposera que ? est de covolume infini. Lorsque G est de rang 1 et ? est nonelémentaire, rappelons que ?(?) estégal au spectre marqué des longueurs de ?\G/K et l'espace des chambres de Weyl ?\G/M correspond au fibré unitaire tangent T 1 ?\G/K. Dans le cadre des variétésà courbure strictement négatives majorées par ? ?1, dont font partie les espaces localement symétriques de rang 1, Cette propriété entraîne la transitivité topologique. Soit G un groupe de Lie semisimple, connexe, réel linéaire de type non-compact et soit ? un sous-groupe discret
, La non-arithméticité du spectre marqué des longueurs
, Le mélange topologique du flot géodésique sur son ensemble non-errant
, L'existence d'une variété fortement stable dense pour le flot géodésique
On ne démontre cependant pas qu'elles sontéquivalentes. Y. Benoist [Ben00] et I. Kim [Kim06] ont démontré que pour tout sous-semigroupe ? Zariski dense dans G, le sous-groupe engendré par ?(?) est dense dans a. On remplace l'assertion (A) par (A') ? est un sous-groupe discret ,
, on va remplacer le flot géodésique par certain flots directionnels des chambres de Weyl. Compte tenu des Propositions 5.9, 5.17 de transitivité topologique, on ne va considérer que les directions du flot données par les points de l'intérieur du cône limite C(?). Les résultats principaux de ce chapitre sont les propriétés B' et B" suivantes
, ? y, e) ? a × {e} ? H, on en déduit que (x, m) ? H. D'où
, Lemme de densité On s'intéresse aux cas où M est abélien. D'après le Corollaire 3.7 du livre [BtD85], le sous-groupe M est isomorphe au produit d'un tore et d'un sous-groupe abélien fini. Pour SL(2, C) ou encore pour SO(p, p + 2) 0 , le sous-groupe M est abélien connexe, isomorpheà SO(2, R). Pour SL(n, R), le sous-groupe M
, Alors pour tout sous-ensemble E ? V × C engendrant un sous-groupe dense dans V × C, pour tout ? > 0, il existe un sous-ensemble F ? ? E fini de cardinal au plus 3 dim V + 2 dim C, tel que le sous-groupe engendré par F, Lemme 6.12. Soit C un groupe de Lie compact, abélien, connexe, réel linéaire et soit V un espace vectoriel réel de dimension finie
, Ce Lemme est une conséquence du Lemme 6.5 de densité précédent
du livre [BtD85], le sous-groupe C est isomorpheà un tore. Donc son revêtement universelC est un espace vectoriel réel de dimension dim(C) = dim(C) ,
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