. Estimation-des, . Par, and . De-splitting, On commence par diviser Xv en deux sous-groupes de points : ceux qui appartiennent déjà à Q(v) et les autres. Le premier groupe va être conservé et le second va être éliminé, puis redistribué sur les points conservés

?. ,

, En revanche, les points de (X i ) i?? v sont redistribués indépendamment et de façon uniforme sur les points (X i ) i?Gv . À ce stade, nous disposons donc d'un ensemble de N points chacun distribué suivant la loi de X sachant X ? Q(v). Cependant, ils ne sont clairement pas indépendants. L'idée est d'appliquer l'algorithme de Metropolis-Hastings à chacun de ces points, La suite (Xv i ) i?Gv étant déjà distribuée suivant µ v , on conserve ce groupe de points

, Ligne pointillés rouge : la vraie valeur de p. Triangles rouges : les approximations successives p ? (t). Points rouges : les approximations successives p + (t). Triangles bleus : les estimations successives p ? (t) de p ? (t). Points bleus : les estimations successives p + (t) de p + (t). Aires grises : les intervalles de conance à 95% pour les approximations p ? (t) et p + (t). Ces intervalles étant à peine visibles

, Nous illustrons cette inégalité dans la gure A.1. Les quantités VaR 0.95 [X] et TVaR 0.95 [X] sont représentées pour X distribuée suivant une loi normale centrée et réduite

T. ;. Acerbi and . Tasche, Cette mesure de risque vérie les propriétés d'homogénéité, de monotonie, d'invariance par translation et d'invariance en loi. De plus, elle est cohérente (voir l'annexe A de (Acerbi and Tasche, 2002) pour une démonstration de la propriété de sous-additivité, ainsi que la section 2, 2001.

. Brazauskas, Par ailleurs, comme mentionné dans, 2008.

, Bien qu'il ne soit pas utile de les présenter ici, on insiste sur le fait qu'il existe d'autres mesures de risque couramment utilisées dans les domaines de l'assurance, de la gestion du risque ou encore de la nance, 2005) pour une liste exhaustive des mesures de risque usuelles et quelques exemples d'application)

, ainsi que les références qui s'y trouvent. Généralement, l'approche proposée est non-paramétrique : on simule un échantillon i.i.d. suivant la loi de X et on considère un estimateur empirique de la mesure de risque (voir (Brazauskas et al., 2008) pour l'estimation de la Conditional-Value-at-Risk et le chapitre 7 de, Les mesures de risque sont des quantités qui ne sont pas toujours faciles à calculer, 2010.

, A.2 Ordres stochastiques

, de leur médiane ou encore de leur écart-type s'avère peu ecace. L'objectif des ordres stochastiques est d'apporter des outils de comparaison alternatifs et informatifs pour aider à la prise de décision. Par exemple, l'ordre stochastique usuel (présenté en section A.2.1) s'appuie sur la Value-at-Risk pour comparer les valeurs prises par les variables aléatoires X et Y , tandis que l'ordre stochastique convexe, Dans de nombreuses situations, la comparaison de deux variables aléatoires X et Y à travers l'analyse de leur espérance

. Belzunce, pour confronter l'ecacité de plusieurs médicaments à travers une analyse de la durée de vie des patients) ou encore en nance et en gestion des risques (comparaison des pertes et/ou des prots pour le choix de stratégies d'investissement). Pour une vue d'ensemble sur les ordres stochastiques, on pourra consulter les livres (Shaked and Shanthikumar, Les ordres stochastiques sont couramment utilisés en analyse de survie, 2007.

A. Figure, (iv) et (v) (avec ? = Id) de la proposition A.2.1, avec X ? Beta 1 2 , 2 et Y ? Beta, À gauche : les fonctions de survie de X et Y . À droite : les fonctions quantile de X et Y, vol.10

. Denuit, en référence à la Value-at-Risk qui intervient dans la propriété (iv) de la proposition A.2.1. En eet, cette propriété s'écrit encore : VaR ? [X] ? VaR ? [Y ], ?? ? (0, 1), En économie et actuariat, on rencontre plutôt la notation ? V aR, 2005.

A. Théorème, 2.1. Soit X et Y deux variables aléatoires de lois continues et ? une mesure de risque monotone et invariante en loi. Alors, X ? st Y ? ?

, A.2.2 Ordre stochastique convexe croissant

, On dit que X est plus petite que Y au sens de l'ordre convexe croissant (ou encore que Y domine stochastiquement X à l'ordre 2), et on note X ? icx Y

A. Figure, En haut à gauche : fonctions de survie (en référence à l'inégalité (i)). En haut à droite : fonctions de répartition (inégalité (ii)), En bas à gauche : densités (inégalités (iii) et (iv)). En bas à droite : fonctions quantiles

M. Bibliographie-abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, 1965.

C. Acerbi, Spectral measure of risk : a coherent representation of subjective risk aversion, Journal of Banking and Finance, vol.26, issue.7, p.15051518, 2002.

C. Acerbi and D. Tasche, On the coherence of expected shortfall, Journal of Banking and Finance, vol.26, p.14871503, 2002.

A. Adam, M. Houkari, and J. Laurent, Spectral risk measures and portfolio selection, Journal of Banking and Finance, vol.9, issue.32, p.18701882, 2008.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00165641

R. J. Adler, The Geometry of random elds, 1981.

A. Ahmed, A. Soliman, and S. Khider, On some partial ordering of interest in reliability, Microelectronics Reliability, p.13371346, 1996.

G. Ang, A. Ang, and W. Tang, Kernel method in importance sampling density estimation. Structural Safety and Reliability, p.11931200, 1990.

P. Artzner, F. Delbaen, J. Eber, and D. Heath, Thinking coherently, Risk, vol.10, issue.11, p.6871, 1997.

P. Artzner, F. Delbaen, J. Eber, and D. Heath, Coherent measures of risk, Mathematical Finance, vol.9, issue.3, p.203228, 1999.

S. Asmussen and P. W. Glynn, Stochastic simulation : algorithms and analysis, 2007.

S. Au and J. Beck, A new adaptive importance sampling scheme for reliability calculations, Structural Safety, vol.21, p.135158, 1999.

S. Au and J. Beck, Estimation of small failure probabilities in high dimensions by subset simulation, Journal of Probabilistic Engineering Mechanics, vol.16, issue.4, p.263277, 2001.

Y. Auray, P. Barbillon, and J. Marin, Bounding rare event probabilities in computer experiments, Computational Statistics and Data Analysis, vol.80, p.153166, 2014.

D. Azzimonti, Contributions to Bayesian set estimation relying on random eld priors, 2016.

D. Azzimonti, D. Ginsbourger, C. Chevalier, J. Bect, and Y. Richet, Adaptive Design of Experiments for Conservative Estimation of Excursion Sets, 2018.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01379642

F. Bachoc, Cross validation and maximum likelihood estimations of hyperparameters of Gaussian processes with model misspecication, Computational Statistics & Data Analysis, vol.66, p.5569, 2013.

F. Bachoc, Estimation paramétrique de la fonction de covariance dans le modèle de krigeage par processus gaussiens : application à la quantication des incertitudes en simulation numérique, 2013.

P. Barbillon, Méthodes d'interpolation à noyaux pour l'approximation de fonctions type boîte noire coûteuses, 2010.

N. Bäuerle and A. Müller, Stochastic orders and risk measures : consistency and bounds, Insurance Mathematics and Economics, vol.38, issue.1, pp.132-148, 2006.

J. Bect, F. Bachoc, and D. Ginsbourger, A supermartingale approach to Gaussian process based sequential design of experiments, 2019.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01351088

J. Bect, D. Ginsbourger, L. Li, V. Picheny, and E. Vazquez, Sequential design of computer experiments for the estimation of a probability of failure, Statistics and Computing, vol.22, issue.3, p.773793, 2012.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00689580

J. Bect, L. Li, and E. Vazquez, Bayesian subset simulation, SIAM/ASA Journal on Uncertainty Quantication, vol.5, issue.1, p.762786, 2017.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02299402

Y. Belyaev, Continuity and Hölder's conditions for sample functions of stationary Gaussian processes, Proceedings of the Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, vol.2, p.627632, 1961.

F. Belzunce, C. Martinez-riquelme, and J. Mulero, An introduction to stochastic orders, 2015.

R. Bettinger, Inversion d'un système par krigeage : application à la synthèse des catalyseurs à haut débit, 2009.

B. J. Bichon, M. S. Eldred, L. P. Swiler, S. Mahadevan, and J. M. Mcfarland, Ecient global reliability analysis for nonlinear implicit performance functions, AIAA Journal, vol.46, p.24592468, 2008.

C. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, 2006.

M. Boutsikas and E. Vaggelatou, On the distance between convex-ordered random variables, with applications, Advances in Applied Probability, vol.34, p.349374, 2002.

P. Bratley and B. Fox, Algorithm 659 : Implementing Sobol's quasirandom sequence generator, ACM Transactions on Methematical Software (TOMS), vol.14, issue.1, p.88100, 1988.

V. Brazauskas, B. L. Jones, M. L. Puri, and R. Zitikis, Estimating conditional tail expectation with acturial applications in view, Journal of Statistical Planning and Inference, vol.138, p.35903604, 2008.

C. Bucher, Adaptive sampling : an iterative fast monte carlo procedure, Structural Safety, vol.5, p.119126, 1988.

J. Bucklew, Introduction to rare event simulation, Calsch, R, 1998.

, Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods, Acta Numerica, vol.7, issue.4, p.49

C. Cannamela, B. Iooss, L. Gratiet, and L. , A Bayesian approach for global sensitivity analysis of (multi-delity) computer codes, SIAM/ASA Journal of Uncertainty Quantication, p.336363, 2014.

F. Cérou, P. Del-moral, T. Furon, and A. Guyader, Sequential Monte Carlo for rare event estimation, Statistics and Computing, vol.22, issue.3, p.795808, 2012.

D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de modèles aléatoires, of Mathématiques & Applications, vol.78, 2016.

W. Chan, F. Proschan, and J. Sethuraman, Convex-ordering among functions, with applications to reliability and mathematical statistics, Topics in Statistical Dependance, 1990.

C. Chevalier, Fast uncertainty reduction strategies relying on Gaussian process models, 2013.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-00879082

C. Chevalier, J. Bect, D. Ginsbourger, E. Vazquez, V. Picheny et al., Fast parallel kriging-based stepwise uncertainty reduction with application to the identication of an excursion set, Technometrics, vol.56, issue.4, p.455465, 2014.

C. Chevalier, B. Ginsbourger, J. Bect, and I. Molchanov, Estimating and quantifying uncertainties on level sets using the Vorob'ev expectation and deviation with Gaussian process models. mODa 10 Advances in Model-Oriented Design and Analysis, 2013.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00731783

S. Chib and E. Greenberg, Understanding the Metropolis-Hastings algorithm, The American Statistician, vol.49, issue.4, p.327335, 1995.

J. Chilès and P. Delner, Geostatistis : modeling spatial uncertainty, Wiley series in probability and statistics, vol.2, 1999.

J. Chiles and P. Delner, Geostatistics : modeling spatial uncertainty, Wiley Series in Probability and Statistics, 2009.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00795336

M. Choudhry, An introduction to Value at Risk, 2013.

L. Cizeli, B. Mavko, and H. Riesch-oppermann, Application of rst and second order reliabilty methods in the safety assessment of cracked steam generator tubing, Nuclear Engineering and Design, vol.147, p.359368, 1994.

A. Cohen, R. Devore, G. Petrova, and P. Wojtaszczyk, Finding the minimum of a function, Methods and Applications of Analysis, vol.20, issue.4, p.365381, 2013.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01432977

M. Davis, Consistency of risk measure estimates, 2013.

L. De-haan, Estimation of the minimum of a function using order statistics, Journal of the American Statistical Association, vol.76, issue.374, p.467469, 1981.

J. Delmas and B. Jourdain, Modèles aléatoires : applications aux sciences de l'ingénieur et du vivant, 2006.

M. Denuit, J. Dhaene, M. Goovaerts, and R. Kaas, Actuarial theory for dependant risks : measures, orders and models, 2005.

J. Dhaene, M. Denuit, M. Goovaerts, R. Kaas, and D. Vyncke, The concept of comonotonicity in actuarial science and nance : theory, Insurance : Mathematics & Economics, vol.31, p.333, 2002.

J. Dhaene, R. Kaas, M. Goovaerts, and M. Denuit, Modern actuarial risk theory, 2001.

P. Diggle and P. Ribeiro, Model-based geostatistics, Springer Series in Statistics, 2007.

O. Ditlevsen and H. Madsen, Structural reliability methods, vol.178, 1996.

V. Dubourg, F. Deheeger, and B. Sudret, Metamodel-based importance sampling for structural reliability analysis, Probabilistic Engineering Mechanics, vol.33, p.4757, 2013.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00590604

J. Dufour, Properties of moments of random variables, 2003.

B. Echard, N. Gayton, and M. Lemaire, AK-MCS : an active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo Simulation, Structural Safety, vol.33, pp.145-154, 2011.

B. Echard, N. Gayton, M. Lemaire, and N. Relun, A combined importance sampling and Kriging reliability method for small failure probabilities with timedemanding numerical models, Reliability Engineering & System Safety, vol.111, p.232240, 2013.

M. R. El-amri, C. Helbert, O. Lepreux, M. Munoz-zuniga, C. Prieur et al., Data-driven stochastic inversion under functional uncertainties, 2018.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01704189

P. Embrechts, Extreme value theory : potential and limitations as an integrated risk management tool. Derivatives Use, Trading & Regulation, p.449456, 2000.

M. Emmerich, K. Giannakoglou, and B. Naujoks, Single and multiobjective evolutionary optimization assisted by Gaussian random eld metamodels, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, vol.10, p.421439, 2006.

K. Fang, R. Li, and A. Sudjianto, Design and modeling for computer experiments. Computer science and data analysis, Chapman and Hall/CRC. Computer science and data analysis, 2006.

X. Fernique, Régularité de processus gaussiens, Inventiones mathematicae, issue.4, p.12, 1971.

N. Gayton, J. Bourinet, and M. Lemaire, CQ2RS : a new statisticial approach to the response surface method for reliability analysis, Structural Safety, vol.25, issue.1, p.99121, 2003.

D. Ginsbourger, Multiples métamodèles pour l'approximation et l'optimisation de fonctions numériques multivariables, 2009.

A. Guyader and N. Hengartner, Simulation and estimation of extreme quantiles and extreme probabilities, Applied Mathematics & Optimization, vol.64, p.171196, 2011.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00911891

L. Györ, M. Kohler, A. Krzy»ak, and H. Walk, A distribution-free theroy of nonparametric regression, 2002.

A. Hasofer and N. Lind, Exact and invariant second moment code format, Journal of Engineering Mechanics, vol.100, p.111121, 1974.

T. Hastie, R. Tibshirani, and J. Friedman, The Elements of Statistical Learning, Springer Series in Statistics, 2001.

W. Hastings, , 1970.

, Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications, Biometrika, vol.57, issue.1, p.97109

W. Hürlimann, Extermal moments methods and stochastic orders, 1999.

W. Hürlimann, Conditional Value-at-Risk bounds for compound Poisson risks and a normal approximation, Applied Mathematics, p.141153, 2003.

J. Shervish and M. , Theory of statistics, 2010.

H. Jereys, Theory of probability, 1961.

M. Johnson, J. Moore, and D. Ylvisaker, Minimax and maximin distance designs, Journal of Statistical Planning and Inference, vol.26, issue.2, p.455492, 1990.

D. R. Jones, C. D. Perttunen, and B. E. Stuckman, Lipschitzian optimization without the Lipschitz constant, Journal of Optimization Theory and Applications, vol.79, issue.1, p.157181, 1993.

D. R. Jones, M. Schonlau, and W. J. Welch, Ecient global optimization of expensive black-box functions, Workshop on Global Optimization, vol.13, p.455492, 1997.

V. Joseph and Y. Hung, Orthogonal-maximim latin hypercube designs, Statistica Sinica, issue.18, p.171186, 2008.

B. Jourdain, Méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov et méthodes particulaires, 2019.

R. Kaas, J. Dhaene, D. Vyncke, M. Goovaerts, and M. Denuit, A simple geometric proof that comonotonic risks have the convex-largest sum, Astin Bulletin, vol.32, p.7180, 2002.

R. Kaas, A. Van-heerwarden, and M. Goovaerts, Ordering of actuarial risks, 1994.

H. Kahn and T. Harris, Estimation of particle transmission by random sampling, National Bureau of Standards applied mathematics series, vol.12, p.2730, 1951.

E. Kass and L. Wasserman, The selection of prior distributions by formal rules, Journal of the American Statistical Association, vol.91, p.13431370, 1996.

K. Kato, Improved prediction for a multivariate normal distribution with unknown mean and variance, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, vol.61, p.531542, 2009.

I. Kaymaz, Application of kriging method to structural reliability problems. Structural Safety, 2004.

D. Krige, A statistical approach to some mine valuations and allied problems at the witwatersrand, 1951.

S. Kusuoka, On law invariant coherent risk measures, Advances in mathematical economics, vol.3, 2001.

L. Gratiet and L. , Multi-delity Gaussian process regression for computer experiments, 2013.

R. Lebrun, Contribution à la modélisation de la dépendance stochastique, 2013.

R. Li and A. Sudjianto, Analysis of computer experiments using penalized likelihood in Gaussian Kriging models, Technometrics, vol.47, p.111120, 2005.

F. Malrieu and P. Zitt, On the persistence regime for Lotka-Volterra in randomly uctuating environments, ALEA, vol.14, issue.2, p.733749, 2017.

A. Marrel, Mise en ÷uvre et utilisation du métamodèle processus gaussien pour l'analyse de sensibilité de modèles numériques, 2008.

G. Matheron, Principles of geostatistics, Economic Geology, 1963.

M. Mckay, R. Beckman, and W. Conover, A comparaison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code, Technometrics, vol.21, issue.2, p.239245, 1979.

I. Meilijson and A. Nadas, Convex majorization with an application to the length of critical paths, Journal of Applied Probability, vol.16, p.671677, 1979.

R. Melchers, Search-based importance sampling, Structural Safety, vol.9, p.117128, 1990.

N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller, and E. Teller, Equation of state calculation by fast computing machines, The journal of Chemical Physics, vol.21, issue.6, p.10871091, 1953.

T. Mitchell, M. Morris, and D. Ylvisaker, Existence of smoothed stationary processes on an interval, Stochastic Processes and Their Application, vol.35, p.109119, 1995.

I. Molchanov, Theory of random sets, 2005.

A. Müller, Orderings of risks : a comparative study via stop-loss transforms. Insurance : Mathematics and Economics, vol.17, p.215222, 1996.

A. Müller and D. Stoyan, Comparison Methods for Stochastic Models and Risks, Wiley Series in Probability and Statistics, 2002.

A. Nataf, Détermination des distributions dont les marges sont données, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, vol.225, p.4243, 1962.

J. Neveu, Arbres et processus de Galton-Watson, Annales de l'I.H.P, vol.22, issue.2, 1986.

H. Niederreiter, Random number generation and quasi-Monte Carlo methods, Society for Industrial and Applied Mathematics, issue.SIAM, 1992.

J. E. Oakley and A. Hagan, Probabilistic sensitivity analysis of complex models : a Bayesian approach, Journal of the Royal Statistical Society. Series B. Statistical Methodology, vol.66, issue.3, p.751769, 2004.

J. Oger, Méthodes probabilistes pour l'évaluation de risques en production industrielle, 2014.

J. Oger, P. Leduc, and E. Lesigne, A random eld model and decision support in industrial production, J. SFdS, vol.156, issue.3, p.126, 2015.

H. Patterson and R. Thompson, Recovery of inter-block information when block sizes are unequal, Biometrika, vol.58, p.545554, 1971.

V. Picheny, D. Ginsbourger, O. Roustant, R. Haftka, K. et al., Adaptive designs of experiments for accurate approximation of a target region, Journal of Mechanical Design, p.132, 2010.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/emse-00699752

M. Pitera and T. Schmidt, Unbiased estimation of risk, Journal of Banking and Finance, p.91, 2018.

L. Pronzato and W. Müller, Design of computer experiments : space lling and beyond, Statistics and Computing, vol.22, issue.3, p.381701, 2012.

R. Rackwitz and B. Flessler, Structural reliability under combined random load sequences, Computer & Structures, vol.9, issue.5, p.489494, 1978.

E. Rafajlowicz and R. Schwabe, Halton and Hammersley sequences in multivariate nonparametric regression, Statistics & Probability Letters, vol.76, issue.8, p.803812, 2006.

C. E. Rasmussen and C. K. Williams, Gaussian processes for machine learning. Adaptive Computation and Machine Learning, 2006.

C. Robert, The Bayesian Choice, 2007.

C. Robert and G. Casella, , 2004.

, Monte Carlo Statistical Methods

G. Roberts and J. Rosenthal, General state space Markov Chains and MCMC algorithm, Probability Surveys, vol.1, p.2071, 2004.

R. Rockafellar and S. Uryasev, Conditional Value-at-Risk for general loss distribution, Journal of Banking and Finance, vol.26, issue.7, p.14431471, 2001.

M. Rosenblatt, Remarks on a multivariate transformation, The Annals of Mathematical Statistics, vol.23, p.470472, 1952.

M. Rosenbluth and A. W. Rosenbluth, , 1955.

, Monte Carlo calculation of the average extension of molecular chains, Journal of Chemical Physics, vol.23, issue.2, p.356359

G. Rubino, B. Tun, and R. Rubinstein, The cross-entropy method for combinatorial and continuous optimization, Methodology and computing in applied probability, vol.1, issue.2, p.217190, 1999.

L. Ruschendorf, H. Springer, J. Sacks, T. J. Mitchell, W. J. Welch et al., Design and analysis of computer experiments, Statistical Science, vol.4, issue.4, p.409435, 1989.

J. Sacks, B. S. Schiller, and W. J. Welch, Designs for computer experiments, Technometrics, issue.1, p.31, 1989.

T. J. Santner, B. J. Williams, and W. I. Notz, The design and analysis of computer experiments, 2003.

M. Shaked and J. Shanthikumar, Stochastic orders, Probability for Statisticians, 2000.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00539122

R. Smith, Méthodes probabilistes pour l'évaluation de risques en production industrielle, 2018.

E. Solak, R. Murray-smith, W. E. Leithead, D. J. Leith, and C. Rasmussen, Derivative observations in gaussian process models of dynamic systems, Advances in Neural Information Processing Systems, vol.15, p.10571064, 2003.

M. Stein, Large sample properties of simulations using Latin hypercube sampling, Technometrics, vol.29, p.143151, 1987.

M. L. Stein, Interpolation of spatial data, 1999.

D. Tasche, Expected shortall and beyond, Journal of Banking and Finance, vol.26, p.15191533, 2002.

L. Tierney, Markov chains for exploring posterior distributions, Ann. Stat, vol.22, issue.4, p.17011762, 1994.

B. Tun, La simulation de Monte Carlo, 2010.

L. Vardapetyan, J. Manges, and Z. Cendes, Sensitivity analysis of s-parameters including port variations using the transnite element method, vol.527, p.530, 2008.

E. Vestrup, The Theory of Measures and Integration, 2003.

H. Wackernagel, Multivariate Geostatistics, 2003.

C. Walter, Using Poisson processes for rare event simulation, 2017.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01575418

G. R. Wood and B. P. Zhang, Estimation of the Lipschitz constant of a function, Journal of Global Optimization, vol.8, issue.1, p.91103, 1996.

A. Wu, M. Aoi, and J. Pillow, Exploiting gradients and Hessians in Bayesian optimization and Bayesian quadrature, 2018.

H. Xiaoxu, C. Jianqiao, and Z. Hongping, Assessing small failure probabilities by AK-SS : An active learning method cimbining Kriging and Subset Simulation, Structural Safety, vol.59, p.8695, 2016.

Y. Zhang and A. Der-kiureghian, Two improved algorithms for reliability analysis, volume 178 of Reliability and optimization of structural systems, 1995.