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A new look at the interfaces in the percolation and Ising models

Résumé : Les interfaces dans les modèles de percolation et d'Ising jouent un rôle crucial dans la compréhension de ces modèles et sont au coeur de plusieurs problématiques : la construction de Wulff, le mouvement par courbure moyenne, la théorie du SLE. Dans son célèbre article de 1972, Roland Dobrushin a montré que le modèle d'Ising en dimension d ≥ 3 admet une mesure de Gibbs qui n'est pas invariante par translation à l'aide d'une étude sur l'interface entre le haut et le bas d'une boîte droite de taille finie. Le cas d'une boîte penchée est très différent et plus difficile à analyser. Nous proposons dans cette thèse une nouvelle définition de l'interface. Cette définition est construite dans le modèle de percolation Bernoulli à l'aide d'un couplage dynamique de deux configurations. Nous montrons que cette interface est localisée autour des arêtes pivot à une distance d'ordre de ln²n dans une boîte de taille n. Notre méthode de preuve utilise les chemins espace-temps, qui permettent de contrôler la vitesse de déplacement de l'interface. Nous montrons aussi que la vitesse des arêtes pivot est au plus de l’ordre de ln n. Nous étendons ces résultats au modèle de FK-percolation, nous montrons aussi la localisation de l'interface à distance d'ordre ln²n autour des arêtes pivot. En utilisant une modification du couplage classique d'Edwards-Sokal, nous obtenons des résultats analogues sur la localisation de l'interface dans le modèle d'Ising.
Document type :
Theses
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https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02191676
Contributor : Abes Star :  Contact
Submitted on : Tuesday, July 23, 2019 - 3:35:28 PM
Last modification on : Tuesday, August 4, 2020 - 3:44:04 AM

File

81532_ZHOU_2019_archivage.pdf
Version validated by the jury (STAR)

Identifiers

  • HAL Id : tel-02191676, version 1

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Citation

Wei Zhou. A new look at the interfaces in the percolation and Ising models. Probability [math.PR]. Université Paris-Saclay, 2019. English. ⟨NNT : 2019SACLS173⟩. ⟨tel-02191676⟩

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