Topology of smoothings of non-isolated singularities of complex surfaces
Topologie des lissages de singularités non-isolées de surfaces complexes
Résumé
This thesis is dedicated to the study of the topology of smoothings of non-isolated singularities of complex surfaces. The question is to describe the topology of the manifold, called \textbf{Milnor fiber}, which appears during this process of smoothing. Considering the great difficulty of a description of the whole of this topology, many researches have focused on the study of the \textbf{boundary} of the Milnor fiber. In the case of isolated singularities, it is known since the work of Mumford (1961) that this boundary is a graph manifold, isomorphic to the link of the singularity.
Different results (Michel \& Pichon 2003, 2014, Némethi \& Szil\'ard 2012) have then proved that, in the case of reduced non-isolated singularities \ajo[of surfaces], the boundary of the Milnor fiber is again a graph manifold, while restraining to the case of a smooth total space of smoothing. Fern\'andez de Bobadilla \& Menegon-Neto (2014) have widened the context, considering non-reduced surfaces, and allowing the total space to have an isolated singularity. In this work, we pursue the extension of this result to a larger context, allowing the total space to present non-isolated singularities, while restraining ourselves to the study of reduced surface singularities. Our proof is inspired by the one of Némethi and Szilard, and allows us furthermore to provide a method for the computation of \hsout{this manifold} \ajo[the boundary of the Milnor fiber]. This makes possible the actual computation of a large number of examples, representing a step forward in the quest for the comprehension of the manifolds that can actually appear as boundaries of Milnor fibers.
We apply in particular the method to Newton non-degenerate singularities defined on $3$-dimensional toric germs. This is a generalization of a theorem of Oka (1986), expressing the boundary of the Milnor fiber in terms of the Newton polyhedron of the singularity.
Cette thèse s'intéresse à la topologie des lissages des singularités non-isolées de sufaces complexes. La question est celle de la description de la topologie de la variété, appelée \textbf{fibre de Milnor}, qui survient lors de ce procédé de lissage. Devant la difficulté de décrire la totalité de cette topologie, beaucoup de recherches se sont concentrées sur le \textbf{bord} de la fibre de Milnor. Dans le cas des singularités isolées, il est connu depuis les travaux de Mumford (1961), que ce bord est une variété graphée, isomorphe au bord de la singularité.
Différents résultats (Michel \& Pichon 2003, 2014, Némethi \& Szil\'ard 2012) ont par la suite prouvé que dans le cas des singularités réduites non-isolées \ajo[de surfaces], si l'espace total du lissage est lui-même lisse, le bord de la fibre de Milnor est encore une variété graphée. Fern\'andez de Bobadilla \& Menegon-Neto (2014) ont quant à eux élargi le contexte, considérant le cas d'une surface non réduite dans un espace total à singularité isolée. Dans ce travail, on poursuit l'extension de ce résultat à un plus large contexte, autorisant l'espace total du lissage à présenter des singularités non-isolées, tout en imposant à la surface d'être réduite. Notre preuve s'inspire de celle de Némethi et Szilard, permettant comme chez eux de produire une méthode pour le calcul \hsout{de cette variété} \ajo[du bord de la fibre de Milnor]. Ceci rend praticable le calcul effectif d'une grande quantité d'exemples, représentant un progrès dans la quête de la compréhension des variétés pouvant apparaître comme bords de fibres de Milnor.
Nous appliquons en particulier la méthode aux singularités Newton-non-dégénérées définies sur des germes toriques tridimensionnels quelconques. Nous généralisons de cette manière un théorème de Oka (1986), en exprimant le bord de la fibre de Milnor en termes du polyèdre de Newton de la singularité.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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