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Theses

Geometric characteristics of smooth anisotropic random fields.

Résumé : Cette thèse a pour sujet l’étude géométrique de champs aléatoires anisotropes réguliers, définis sur l’espace euclidien, en partie dans le cadre gaussien. Nous nous intéressons à trois caractéristiques géométriques: le nombre de points critiques, la mesure des ensembles de niveaux et la caractéristique d’Euler des ensembles d’excursion. Des formules de Rice permettent d’exprimer leur espérance ou leur variance. Nous proposons d’abord une condition suffisante sous laquelle le nombre de points critiques d’un champ stationnaire gaussien est de variance finie. Cette condition s’avère être une généralisation de la condition de Geman, connue en dimension un, au cadre multidimensionnel et anisotrope. Nous étudions ensuite deux modèles de champs aléatoires anisotropes. Pour les champs déformés, en dimension deux, l’anisotropie est liée à une déformation de l’espace des paramètres par une bijection du plan déterministe. Nous exhibons les déformations qui préservent l’isotropie, et nous prouvons que les champs déformés correspondants sont caractérisés par une propriété d’invariance de la caractéristique d’Euler moyenne de leurs ensembles d’excursion. Cette même caractéristique permet d’identifier les déformations en jeu, lorsque celles-ci sont inconnues. L’anisotropie des ondes aléatoires, quant à elles, est liée au domaine spectral. Notre modèle d’onde aléatoire anisotrope permet de généraliser plusieurs modèles existant, tels que les ondes planaires de Berry et un modèle spatio-temporel pour l’étude des vagues. On met en évidence la dépendance entre des caractéristiques géométriques d’une onde (en particulier l’espérance de la mesure de ses ensembles de niveau) et la loi de son vecteur d’onde (notamment ses moments et ses statistiques directionnelles). La longueur moyenne des lignes nodales du modèle planaire anisotrope de Berry s’avère décroître à mesure que l’anisotropie du vecteur d’onde augmente.
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Theses
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https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02155827
Contributor : Julie Fournier <>
Submitted on : Friday, June 14, 2019 - 12:16:25 AM
Last modification on : Saturday, May 30, 2020 - 3:27:11 AM

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  • HAL Id : tel-02155827, version 1

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Julie Fournier. Geometric characteristics of smooth anisotropic random fields.. Probability [math.PR]. Sorbonne Université; Université Paris 5 René Descartes, 2018. English. ⟨tel-02155827⟩

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