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Theses

Quantum proofs, the local Hamiltonian problem and applications

Résumé : Dans la classe de complexité QMA – la généralisation quantique de la classe NP – un état quantique est fourni comme preuve à un algorithme de vérification pour l’aider à résoudre un problème. Cette classe de complexité a un problème complet naturel, le problème des Hamiltoniens locaux. Inspiré par la Physique de la matière condensée, ce problème concerne l’énergie de l’état fondamental d’un système quantique. Dans le cadre de cette thèse, nous étudions quelques problèmes liés à la classe QMA et au problème des Hamiltoniens locaux. Premièrement, nous étudions la différence de puissance si au lieu d’une preuve quantique, l’algorithme de vérification quantique reçoit une preuve classique. Nous proposons un cadre intermédiaire à ces deux cas, où la preuve consiste en un état quantique “plus simple” et nous arrivons à démontrer que ces états plus simples sont suffisants pour résoudre tous les problèmes dans QMA. À partir de ce résultat, nous obtenons un nouveau problème QMA-complet et nous étudions aussi la version de notre nouvelle classe de complexité avec erreur unilatérale. Ensuite, nous proposons le premier schéma de délégation vérifiable relativiste de calcul quantique. Dans ce cadre, un client classique délègue son calcul quantique à deux serveurs quantiques intriqués. Ces serveurs peuvent communiquer entre eux en respectant l’hypothèse que l’information ne peut pas être propagé plus vite que la vitesse de la lumière. Ce protocole a été conçu à partir d’un jeu non-local pour le problème des Hamiltoniens locaux avec deux prouveurs et un tour de communication. Dans ce jeu, les prouveurs exécutent des calculs quantiques de temps polynomiaux sur des copies de l’état fondamental du Hamiltonien. Finalement, nous étudions la conjecture PCP quantique, où l’on demande si tous les problèmes dans la classe QMA acceptent un système de preuves où l’algorithme de vérification a accès à un nombre constant de qubits de la preuve quantique. Notre première contribution consiste à étendre le modèle QPCP avec une preuve auxiliaire classique. Pour attaquer le problème, nous avons proposé une version plus faible de la conjecture QPCP pour ce nouveau système de preuves. Nous avons alors montré que cette nouvelle conjecture peut également être exprimée dans le contexte des problèmes des Hamiltoniens locaux et ainsi que dans lecadre de la maximisation de la probabilité de acceptation des jeux quantiques. Notre résultat montre la première équivalence entre un jeu multi-prouveur et une conjecture QPCP.
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Theses
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Contributor : Abes Star :  Contact
Submitted on : Tuesday, June 11, 2019 - 1:34:31 PM
Last modification on : Friday, April 10, 2020 - 5:18:28 PM

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  • HAL Id : tel-02152364, version 1

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Alex Bredariol Grilo. Quantum proofs, the local Hamiltonian problem and applications. Computer Arithmetic. Université Sorbonne Paris Cité, 2018. English. ⟨NNT : 2018USPCC051⟩. ⟨tel-02152364⟩

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