, La propagation des incertitudes de la méthode est aussi étudiée, ce qui conduit au choix optimal de la dimension du capteur et de l'ordre optimal du développement. Les différentes méthodes de mesures sont également discutées, et il est montré que les mesures équi-distantes sont les plus adaptées. Enfin, les moyens d'utiliser de l'information a priori ont été étudiés

. Jusqu'ici, Pour enrichir ce travail et valider finalement toutes les conclusions obtenues, la confrontation à l'expérience est nécessaire, tous les résultats présentés sont théoriques ou numériques

, On peut constater que l'inductance mutuelle calculée par l'approche en harmoniques sphériques est très proche de celle mesurée directement. Son erreur relative est donnée sur la Figure 5.19. De manière similaire au cas coaxial, l'erreur relative de l'approche en harmoniques sphériques est faible (inférieur à 10%) et diminue lorsque la distance entre les deux sources augmente. Ceci s'explique par le fait que plus les deux sources sont loin l'une de l'autre, moins N max nécessaire est important pour calculer l'inductance mutuelle entre elles. Lorsque les sources sont suffisamment loin l'une de l'autre, Les deux spires en circuits imprimés sont placées côte à côte d'une façon coplanaire. d est la distance entre les deux origines du développement. L'inductance mutuelle entre elles est étudiée pour les différentes valeurs de d. Les résultats sont présentés en Figure 5, vol.18

?. Z. Li, F. Tavernier, A. Bréard, L. Krähenbühl, D. Voyer et al., Error analysis for near field EMC problems based on multipolar expansion approach, IEEE Transactions on Magnetics, vol.53, issue.6, p.1496540, 2017.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01393474

?. A. Bréard, O. Chadebec, L. Krähenbühl, C. A. Sartori, C. Vollaire et al., Overview on the Evolution of Near Magnetic Field Coupling Prediction using Equivalent Multipole Spherical Harmonic Sources, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol.59, issue.2, p.1432166, 2017.

?. A. Bréard, F. Tavernier, Z. Li, and L. Krähenbühl, New Measurement System of Magnetic Nearfield with Multipolar Expansion Approach, IEEE Transactions on Magnetics, vol.52, p.1322299, 2015.

, Conférences internationales

?. Z. Li, F. Tavernier, A. Bréard, C. A. Sartori, and L. Krähenbühl, Use of a priori geometric information to improve the identification of the B-field measurement around a power electronic device, IEEE GEMCCON, p.1580387, 2017.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01580387

?. F. Tavernier, Z. Li, A. Bréard, C. A. Sartori, and L. Krähenbühl, Optimal points of measurement for identification of sources by harmonic expansion, IEEE GEMCCON, p.1580395, 2017.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01580395

?. Z. Li, F. Tavernier, A. Bréard, and L. Krähenbühl, Utilisation d'informations géométriques a priori pour améliorer l'identification du champ H mesuré autour d'un dispositif, p.1563074, 2017.

?. F. Tavernier, Z. Li, A. Bréard, and L. Krähenbühl, Position optimale des points de mesure pour l'identification de sources par développements harmoniques, p.1563065, 2017.

?. Z. Li, F. Tavernier, A. Bréard, L. Krähenbühl, and D. Voyer, Study of the choice of the origin in spherical harmonics expansion for magnetic near-field sources, IEEE APEMC, p.1388380, 2016.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01388380

?. Z. Li, F. Tavernier, A. Bréard, and L. Krähenbühl, Study of the limitation of a new predictive method for near-field EMC problems with a multipolar expansion approach, p.1393397, 2016.

?. F. Tavernier, Z. Li, and A. Bréard, Source reconstruction using multipolar expansion in different coordinate systems applied to electromagnetic problem, p.1393399, 2016.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01393399

?. F. Tavernier, Z. Li, A. Bréard, D. Voyer, C. A. Sartori et al., Comparison of the near field coupling using spherical and spheroidal harmonics, IEEE CEFC, p.1393476, 2016.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01393476

, Conférences nationales

?. Z. Li, F. Tavernier, A. Bréard, L. Krähenbühl, and D. Voyer, Étude des effets de sources secondaires sur les couplages inductives, basée sur la méthode de développement multipolaire, SGE, vol.2016, p.1361570

?. F. Tavernier, Z. Li, A. Bréard, D. Voyer, and L. Krähenbühl, Comparaison du calcul d'inductances mutuelles entre dispositifs à partir de développements harmoniques séparés de leurs champs proches en coordonnées cylindriques et elliptiques, SGE 2016, p.1361572

?. Z. Li, A. Bréard, and L. Krähenbühl, Recherche du meilleur centre de décomposition multipolaire d'une source électromagnétique en champ proche, GDR Ondes, p.1217239, 2015.

V. Ardon, J. Aime, O. Chadebec, E. Clavel, J. M. Guichon et al., EMC modeling of an industrial variable speed drive with an adapted PEEC method, IEEE Transactions on Magnetics, vol.46, issue.8, pp.2892-2898, 2010.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00437520

H. Akaike, Information theory and an extension of the maximum likelihood principle, Biometrika, vol.60, issue.2, pp.255-265, 1973.

S. C. Althoen and R. Mclaughlin, Gauss-jordan reduction : A brief history, Am. Math. Monthly, vol.94, issue.2, pp.130-142, 1987.

A. Baccini, Statistique descriptive élémentaire, 2010.

T. Bayes, An essay towards solving a problem in the doctrine of chances, Phil. Trans. of the Royal Soc. of London, vol.53, pp.370-418, 1763.

F. X. Bally and J. M. Berroir, Ecole Normale Supérieure, Universités Paris 6, vol.11, 2008.

]. A. Bck-+-17, O. Bréard, L. Chadebec, C. A. Krähenbühl, C. Sartori et al., Overview on the evolution of near magnetic field coupling prediction using equivalent multipole spherical harmonic sources, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol.59, issue.2, pp.584-592, 2017.

S. L. Belousov, Tables of normalized associated legendre polynomials, 1962.

M. A. Blanco, M. Flórez, and M. Bermejo, Evaluation of the rotation matrices in the basis of real spherical harmonics, Journal of Molecular Structure : THEOCHEM, vol.419, issue.1-3, pp.19-27, 1997.

]. F. Bpb-+-17, L. Benyoubi, M. Pichon, Y. L. Bensetti, M. Bihan et al., An efficient method for modeling the magnetic field emissions of power electronic equipment from magnetic near field measurements, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol.59, issue.2, pp.609-617, 2017.

B. C. Brock, Using vector spherical harmonics to compute antenna mutual impedance from measured or computed fields, 2001.

J. R. Bergervoet and H. V. Veen, A large-loop antenna for magnetic field measurements

, Zurick International Symposium on EMC, 1989.

S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization. Optimization Methods and Software, vol.25, pp.487-487, 2010.

F. Costa, C. Gautier, E. Labouré, and B. Revol, Electromagnetic compatibility in Power Electronics, 2014.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01686638

A. Charoy, Cem parasites et perturbations des électroniques, 2006.

A. Charoy, Cem parasites et perturbations des électroniques, tome 3 blindages, filtres, câbles blindés, 2006.

W. C. Chew, Waves and fields in inhomogeneous media, 1995.

C. H. Choi, J. Ivanic, M. S. Gordon, and K. Ruedenberg, Rapid and stable determination of rotation matrices between spherical harmonics by direct recursion, The Journal of Chemical Physics, vol.111, issue.19, p.8825, 1999.

F. Coulon and M. Jufer, Traité d'électricité, vol.1, 1978.

J. Delaballe, Emc : electromagnetic compatibility. Scheneider Electric Cahier technique no, 2001.

J. W. Demmel, Appplied Numerical Linear Algebra, pp.101-138, 1997.

A. B. Downey, Think bayes, batesian statistics made simple, 2012.

P. Dular, Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systèmes tridimensionnels non linéaires, 1996.

E. Durand and . Magnetostatique, Masson et Cie Editeurs, 1968.

C. R. Emson and J. Simkin, An optimal method for 3-D eddy currents, IEEE Transactions on Magnetics, vol.19, issue.6, pp.2450-2452, 1983.

R. Fitzpatrick, Maxwell's equations and the principles of electromagnetism, 2008.

D. Fleisch, A student's guide to maxwell's equations, 2008.

M. C. Grant and S. P. Boyd, The CVX Users' Guide Release 2.1, 2017.

N. A. Gumerov and R. Duraiswami, Recursive computation of spherical harmonic rotation coefficients of large degree, pp.1-35, 2014.

Z. Gimbutas and L. Greengard, A fast and stable method for rotating spherical harmonic expansions, Journal of Computational Physics, vol.228, issue.16, pp.5621-5627, 2009.

S. Gratton, Analyse matricielle et Optimisation, 2014.

R. Green, Spherical harmonic lighting : The gritty details, 2003.

S. V. Gupta, Measurement Uncertainties, physical parameters and calibration of instruments

. Springer, , 2012.

T. Q. Hoang, A. Bréard, and C. Vollaire, Near magnetic field coupling prediction using equivalent spherical harmonic sources, IEEE Transactions on EMC, vol.56, issue.6, pp.1457-1465, 2014.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01388383

W. Huang, Z. Khalid, and R. A. Kennedy, Efficient computation of spherical harmonic transform using parallel architecture of CUDA, 5th International Conference on Signal Processing and Communication Systems (ICSPCS, pp.1-6, 2011.

S. D. Hodges and P. G. Moore, Data uncertainties and least squares regression, Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), vol.21, issue.2, pp.185-195, 1972.

T. Hohage, Inverse problems, 2002.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01761227

C. M. Hurvich and C. L. Tsai, Regression and time series model selection in small samples, Biometrika, vol.76, issue.2, pp.297-307, 1989.

J. Ivanic and K. Ruedenberg, Rotation matrices for real spherical harmonics. Direct determination by recursion, Journal of Physical Chemistry, vol.100, issue.15, pp.6342-6347, 1996.

E. Jamelot, Résolution des équations de maxwell avec des éléments finis de galerkin continus, 2005.

B. Jourdain, Probabilités et Statistique, 2013.

S. Kay, Fundamentals of statistical signal processing, 1993.

D. Labrousse, Amélioration des techniques d'estimation des perturbations conduites : application à une chaîne de traction de véhicule électrique, 2010.

F. Lattarulo, Electromagnetic Compatibility in Power Systems, 2007.

M. Legris, Identification de l'état magnétique d'un système ferromagnétique à partir de mesures du champ proche, 1996.

J. H. Luscombe and M. Luban, Simplified recursive algorithm for Wigner 3j and 6j symbols, Physical Review E, vol.57, issue.6, pp.7274-7277, 1998.

, Norme internationale cispr 16-1. Comité international spécial des perturbations radioélec-triques, 2008.

P. M. Lam, C. S. Leung, T. T. Wong, and C. W. Fu, Uniformly sampling multi-resolution analysis for image-based relighting, Journal of Visual Communication and Image Representation, vol.21, issue.7, pp.693-706, 2010.

P. F. Lopez, Modélisation du rayonnement électromagnétique des dispositifs électroniques pour des applications cem, 2011.

J. Lorange, Couplage des inductances par rayonnement magnétique. etude théorique et expé-rimentale, 2001.

Z. Li, F. Tavernier, A. Bréard, L. Krähenbühl, and D. Voyer, Study of the choice of the origin in spherical harmonics expansion for magnetic near-field sources, Asia-Pacific International Symposium on Electromagnetic Compatibility (APEMC), vol.01, pp.373-375, 2016.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01388380

H. T. Luong, Amélioration de la formulation en potentiel scalaire magnétique et généralisa-tion au couplage entre équations de champ et de circuit électrique, 1997.

V. Mazauric, Une approche variationnellle de l'électromagnétisme, 2013.

J. H. Mathews and K. K. Fink, Nelder-Mead Method, Numerical Methods Using Matlab, 2004.

D. Morin, Electromagnetic waves. Waves, p.793, 2012.

M. H. Mousa, Calcul efficace et direct des représentations de maillage 3d utilisant les harmoniques sphériques, 2006.

J. P. Muller, Analyse spectrale des signaux radiofréquence, 2000.

, Eric Nens. Contribution à la modélisation des structures symétriques en électromagnétisme

. Thèse, , 2002.

J. A. Nelder and R. Mead, A simplex method for function minimization, The computer journal, vol.7, issue.4, pp.308-313, 1965.

S. Orfanidis, Scattering Parameters. Electromagnetic Waves and Antennas, pp.663-708

H. W. Ott, Electromagnetic compatibility engineering, 2009.

C. R. Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, 2006.

O. Pinaud, Characterization, Modeling and Identification of magnetic field sources inside an electric vehicle, 2014.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01122591

O. Plaat, Separation of variables, The American Mathematical Monthly, vol.75, issue.8, pp.844-847, 1968.

P. Poulichet, Introduction à la compatibilité électromagnétique, 2010.

R. Rammam, Caractérisation outdoor de structures rayonnantes via une mesure transitoire impulsionnelle et un algorithme de transformation champs proches -champs lointains, 2010.

J. Richmond, A reaction theorem and its application to antenna impedance calculations, IRE Transactions on Antennas and Propagation, vol.9, issue.6, 1961.

B. Ricketti, Magnetostatics and the biot-savart law, 2015.

L. L. Rouve, L. Schmerber, O. Chadebec, and A. Foggia, Optimal magnetic sensor location for spherical harmonic identification applied to radiated electrical devices, IEEE Transactions on Magnetics, vol.42, issue.4, pp.1167-1170, 2006.

S. Roel and J. Trampert, Inverse problems in geophysics, pp.119-190, 1999.

V. H. Rumsey, Reaction concept in electromagnetic theory, Physical Review, vol.94, issue.6, pp.1483-1491, 1954.

A. Saghir, Contribution à la caractérisation des structures rayonnantes -application aux études en champ proche de rayonnement électromagnétique, 2013.

R. Schaumann, Design of analog filters, 2001.

L. Schmerber, Identification et caractérisation de sources électromagnétiques -application à la discrétion des moteurs de propulsion navale, 2006.

M. Savi, T. Z. Gireli, F. A. Tirich, and C. A. Sartori, Developing a van veen & bergervoet antenna, 2004.

E. B. Saff and B. J. Kuijlaars, Distributing many points on a sphere, The Mathematical Intelligencer, vol.19, issue.1, pp.5-11, 1997.

D. L. Sengupta and V. V. Liepa, Applied electromagnetics and electromagnetic compatibility, 2006.

I. Terrasse and T. Abboud, Modélisation des phénomènes de propagation d'ondes, 2007.

T. Takahashi, Analyse numérique, 2013.

A. Tarantola, Inverse problem theory and methods for model parameter estimation, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004.

J. Taylor, Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques. Masson Sciences, Dunod, 2000.

B. Vincent, O. Chadebec, J. L. Schanen, K. Berger, L. Krähenbühl et al., Identification de sources multipolaires équivalentes par filtrage spatial, 2008.

B. Vincent, O. Chadebec, J. L. Schanen, K. Berger, R. Perrussel et al., Identification of equivalent multipolar electromagnetic sources by spatial filtering, IEEE Transactions on Magnetics, vol.46, issue.8, pp.2815-2818, 2010.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00455455

B. Vincent, O. Chadebec, J. L. Schanen, and K. Berger, Loop Antennas for Near-Field Multipolar-Expansion Identification : First Experimental Validations, vol.59, pp.3086-3092, 2010.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00400277

B. Vincent, Identification de sources électromagnétiques multipolaires équivalentes par filtrage spatial : Application à la cem rayonnée pour les convertisseurs d'électronique de puissance

I. Thèse and . Polytechnique-de-grenoble, , 2009.

D. E. Wells and E. J. Krakiwsky, The Method of Least Squares, 1971.

S. Wang, F. C. Lee, and W. G. , Controlling the parasitic parameters to improve EMI filter performance. Nineteenth Annual IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition, APEC '04, vol.1, issue.c, pp.503-509, 2004.

S. Wang, F. C. Lee, and W. G. , Cancellation of capacitor parasitic parameters for noise reduction application, IEEE Transactions on Power Electronics, vol.21, issue.4, pp.1125-1132, 2006.

J. P. Wikswo and K. R. Swinney, Scalar multipole expansions and their dipole equivalents, Journal of Applied Physics, vol.57, issue.9, pp.4301-4308, 1985.

S. Zangui, Détermination et modélisation du couplage en champ proche magnétique entre systemes complexes, 2011.

S. Zangui, K. Berger, B. Vincent, E. Clavel, R. Perrussel et al., Modélisatin des couplages en champ proche des composants des filtres cem en utilisant des sources équivalentes de rayonnement, 2010.