, La Boardman-Vogt résolution définit un endofoncteur dans la catégorie des (P-Q) ? bimodules. Il est important de noter qu'on a aussi la fonctorialité au niveau des opérades P et Q. Plus précisément, si on se donne deux morphismes de S-opérades symétriques f p : P 1 ? P 2 et f q : Q 1 ? Q 2 ainsi qu'un morphisme f entre un (P 1 -Q 1 ) ? bimodule M 1 et un (P 2 -Q 2 ) ? bimodule M 2 vérifiant la commutativité des diagrammes suivants : CHAPITRE 6. DELOOPING RELATIF D'ORDRE SUPÉRIEUR Supposons que l'applicatioñ f soit définie pour les arbres

. Q)(i-c, Par construction, [T ; {a v }] s'écrit sous la forme [T 1 ; {a v } \ {a 0 }] ? i [T 2 ; a 0 ] avec T 2 une corolle ayant toutes ses entrées indexées par la couleur c tandis que son sommet est indexé par un point a 0 ? M. Si on veut que?fque? que?f soit un morphisme de {o ; c}-opérades symétriques alors on doit avoir l'égalité : ? f [T ; vu dans le second chapitre que la catégorie ?-Bimod P-Q est enrichie dans les espaces topologiques, T ayant k + 1 sommets

C. Op,

. Q]-est-définie-comme-la-catégorie, P ? Q) ? ?-Operad {o ; c} , elle est aussi enrichie dans les espaces topologiques et possède une structure de catégorie modèle cofibrement engendrée (voir l'exemple 2.1.4). La proposition qui

, R) se comporte bien vis-à-vis des structures homotopiques

. R)-forme-une-paire-de-quillen,

, Pour démontrer que le couple (L ; R) est une paire de Quillen, on va vérifier que le foncteur R préserve les fibrations ainsi que les fibrations acycliques. Soit f : (O ; ? O ) ? (O ? ; ? O ? ) une fibration dans la catégorie

, On rappelle que la structure de catégorie modèle sur les opérades a été construite à partir d'une adjonction : F {o ; c} : ?-Coll({o ; c}) ? ?-Operad {o ; c} : U, avec U le foncteur oubli et F {o ; c} l'opérade libre. Ainsi, f est une fibration si et seulement si U( f ) est une fibration degré par degré, Cela signifie que l'application sous-jacente f : O ? O ? est une fibration dans la catégorie des {o ; c}-opérades symétriques

, De même, la structure de catégorie modèle sur les bimodules a été définie à partir d'une adjonction

. Avec-f-b-le-(p-q)-?-bimodule-libre, Ainsi, un morphisme dans ?-Bimod P-Q est une fibration si c'est une fibration degré par degré dans Top, Par conséquent R( f ) = f M est une fibration. Un raisonnement similaire permet de démontrer que R préserve les fibrations acycliques

, Corollaire 6.2.7. Soient P et Q deux opérades symétriques ?-cofibrantes et bien pointées avec P(0) = ?. Soit O un objet de la catégorie Op

Q. Op,

R. Op,

. Q]-h-l,

O. ?. , , p.17

, BR(O) est un remplacement cofibrant de R(O) en tant que (P-Q) ? bimodule. Comme le foncteur L est l'adjoint à gauche d'une paire de Quillen, il préserve les cofibrations ainsi que les objets cofibrants

Q. Op,

, ); P; Q)(I c , I o ; o) est la donnée d'un arbre T ? ?(I c ; I o ) dont certains sommets sont indexés par des arbres à section. On dispose donc de l'homotopie faisant tendre les paramètres des sommets non perlés vers 0. Par conséquent, le morphisme de (P-Q) ? bimodules µ : BR(O) ? R(O), évaluant l'ensemble des paramètres à zero

Q. ,

P. Op,

, Comme tous les objets sont fibrants dans les catégories que l'on considère

. Op,

P. ,

O. Op,

P. ,

. O-?-),

. Chapitre-6, . Delooping-relatif-d'ordre, and . Supérieur,

L. Faible, 17) provient donc de l'adjonction (L

R. ,

R. Op,

, BR(O); P; Q)

O. ?. ,

, P et Q deux opérades ?-cofibrantes et bien pointées. Si R(O) est ?-cofibrant et bien pointé alors ?-Bimod h P-Q

, ? )) est faiblement équivalent à l'espace de lacets relatif : ? Operad h ( Q

. O-?-c,

. Op,

. O-?-),

O. La-catégorie,

, c}-opérade symétrique et f o : P ? O o un morphisme d'opérades symétriques strictes. Par conséquent tout objet de Op

Q. Op,

. ?]-en, oubliant l'application sur la partie fermée

Q. Br,

, Q) n'est pas nécessairement cofibrant dans cette catégorie car Q n'est pas nécessairement cofibrant en tant qu'opérade. On commence donc par modifier légèrement la construction 6.1.2 afin de définir un remplacement

, ) dont les points sont les triplets [T ; {t u } ; {a v }] avec T un arbre à section et {a v } une famille de points indexant les sommets de l'arbre de la même manière que dans la construction 6.1.2. La famille {t u } est un ensemble de réels dans l'intervalle I = [0 , 1] paramétrant les sommets non perlés au-dessous de la section ainsi que les arêtes internes au-dessus de la section

, Proposition 6.2.12. Soit O un objet de Op

, Si R(O) est ?-cofibrant alors BV ? (O) est un remplacement cofibrant de L(R(O); P; Q) dans la catégorie, P et Q deux opérades ?-cofibrantes et bien pointées

, Sous les conditions de la proposition, le lemme 6.2.10 implique que B ? (R(O)) est un remplacement cofibrant de R(O) en tant que (P-BV(Q)) ? bimodule. Comme le foncteur L préserve les cofibrations

, Par conséquent BV ? (O) est aussi cofibrant dans la catégorie Op

. ?]-via-la-succession-de-cofibrations,

, B ? (R(O)) ou P adéquats. Par conséquent, l'application BV ? (O) ? L(R(O); P; Q), évaluant l'ensemble des paramètres à zéro, est une équivalence faible dont l'homotopie consiste à faire tendre les paramètres vers zéro. Par construction, le morphisme d'opérades BV(Q) ? BV ? (O) c = BV(Q) provient de l'identité, Un point de BV ? (O) est constitué d'un arbre de ? dont les sommets sont indexés par des points de BV(Q)

B. V. O-?-??-?-operad,

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, Il est ainsi possible d'extraire d'une opérade pointée O (i.e. un opérade colorée sous ? 0 (SC 1 ) ) un couple d'espaces semi-cosimpliciaux (O c ; O o ) dont les semitotalisations sont faiblement équivalentes à une SC 2 -algèbre explicite. En particulier, on prouve que le couple (L 1 ; n ; L m ; n ), composé de l'espace des longs noeuds et de l'espace des longs entrelacs à m brins, est faiblement équivalent à une SC 2 -algèbre explicite. Dans un second temps, on s'intéresse aux couples d'homologies singulières et d'homologies de Hochschild associés à une paire d'espaces semi-cosimpliciaux provenant d'une opérade pointée, Résumé L'objectif de ce travail est l'étude de l'opérade Swiss-Cheese SC d qui est une version relative de l'opérade des petits cubes C d . On montre que les théorèmes classiques dans le cadre des opérades non colorées admettent des analogues dans le cas relatif

, O o ))) et (HH * (O c )

. Hh-*, On montre alors que le morphisme de Bousfield entre ces deux couples préserve les structures de H * (SC 2 )-algèbres. Cela nous permet de mieux appréhender le couple de suites spectrales de Bousfield calculant

, En particulier, on énonce un critère permettant de faire le lien entre le couple d'homologies singulières issu d'une opérade symétrique multiplicative topologique et la page E 2 des suites spectrales de Bousfield. La dernière étape de notre étude consiste à généraliser les précédents résultats. Pour cela, on se base sur une conjecture de Dwyer et Hess qui vise à identifier une C d+1 -algèbre à partir d'un morphisme d'opérades C d ? O. En admettant ce résultat, on introduit une opérade colorée CC d telle que l'on peut extraire une SC d+1 -algèbre à partir d'un morphisme d'opérades colorées CC d ? O

T. Imm, R d ; R n )), composé de l'espace des longs noeuds en dimension d et de l'approximation polynomiale des (k)-immersions, est faiblement équivalent à une SC d+1 -algèbre explicite