Spectrum of random permutation matrices
Spectre de matrices de permutation aléatoires
Résumé
In this thesis, our goal is to study random matrices related to permutations. We tackle the study of their spectra in various ways, and at different scales. First, we extend the work of Wieand about the numbers of eigenvalues lying in some fixed arcs of the unit circle. We take advantage of the results of Ben Arous and Dang on the linear statistics of the spectrum of permutation matrices for a one-parameter family of deformations of the uniform law on the symmetric group, called Ewens' measures. One of the most innovative parts of our work is the generalization to non-fixed arcs. Indeed we get similar results when we let the lengths of the arcs decrease to zero slower than 1/n. Then, we look at the spectrum at microscopic scale. Inspired by the work of Najnudel and Nikeghbali about the convergence of empirical measures of rescaled eigenangles, we give a meaning to the convergence in terms of indicator functions of intervals. From the limiting point process, we show that the number of points in any interval is asymptotically normal as the length of the interval goes to infinity. Finally, we adapt some results of Chhaibi, Najnudel and Nikeghbali on the characteristic polynomial of the CUE at microscopic scale, and develop them in our framework. Analogously but with different techniques of proof, we get that the characteristic polynomials converge to entire functions, and this for a large family of laws including the Ewens' measures.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à des matrices aléatoires en lien avec des permutations. Nous abordons l'étude de leurs spectres de plusieurs manières, et à différentes échelles d'observation. Dans un premier temps, nous prolongeons l'étude de Wieand à propos des nombres de valeurs propres appartenant à certains arcs fixés du cercle unité. Pour cela nous tirons parti des travaux réalisés par Ben Arous et Dang sur les statistiques linéaires du spectre de matrices de permutation pour une famille de lois à un paramètre englobant le cas de la loi uniforme sur le groupe symétrique, appelée famille des lois d'Ewens. Une partie innovante de notre travail réside dans la généralisation à des arcs non nécessairement fixés. Nous obtenons en effet des résultats similaires en autorisant les longueurs des arcs à décroître lentement vers zéro avec la taille des matrices. Dans un deuxième temps, nous regardons le spectre à échelle microscopique. En nous inspirant des travaux de Najnudel et Nikeghbali en rapport avec la convergence de mesures empiriques des angles propres normalisés, nous commençons par donner un sens à la convergence en terme de comptages de points sur des intervalles fixés. A partir du processus ponctuel limite, nous montrons que le nombre de points dans un intervalle a des fluctuations asymptotiquement gaussiennes lorsque la longueur de l'intervalle tend vers l'infini. Enfin, nous adaptons certains résultats de Chhaibi, Najnudel et Nikeghbali sur le polynôme caractéristique de matrices du CUE à échelle microscopique, et les développons dans notre cadre. De manière analogue mais avec d'autres techniques de preuves, nous obtenons des convergences des polynômes caractéristiques vers des fonctions entières, et cela pour une grande famille de lois pour le tirage des permutations, incluant les lois d'Ewens.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
Loading...