Modular analysis and control of notworks of balance laws in infinite dimension
Analyse et commande modulaires de réseaux de lois de bilan en dimension infinie
Résumé
Networks of balance laws are defined by the interconnection, via boundary conditions, of elementary modules individually characterized by the conservation of physical quantities. Industrial applications of such networks can be found in electric (HVDC networks), hydraulic and pneumatic (gas, water and oil distribution) transmission lines. The thesis is focused on modular analysis and boundary control of an elementary line represented by a system of balance laws in infinite dimension, where the dynamics of the line is taken into consideration by means of first order two by two coupled linear hyperbolic partial differential equations. This representation allows to rigorously model the transport phenomena and finite propagation speed, aspects usually neglected in transient regime. The developments of this work are analysis tools that test the stability, as well as boundary control for the stabilization around an equilibrium point. In the analysis section, we consider a system of balance laws with static boundary conditions and anti-diagonal in-domain couplings. We propose sufficient stability conditions, explicit in terms of the system coefficients, and numerical by constructing an algorithm. The method is based on reformulating the analysis problem as an analysis of a delay system in the frequency domain, obtained by applying a backstepping transform to the original system. In the stabilization work, couplings with dynamic boundary conditions, described by ordinary differential equations (ODE), at both boundaries of the PDEs are considered. We develop a backstepping (bounded and invertible) transform and a control law that at the same time, stabilizes the PDEs inside the domain and the ODE dynamics, and eliminates the couplings that are a potential source of instability. The effectiveness of the control law is illustrated by a numerical simulation.
Les réseaux de lois de bilan sont définis par l'interconnexion, via des conditions aux bords, de modules élémentaires individuellement caractérisés par la conservation de certaines quantités. Des applications industrielles se trouvent dans les réseaux de lignes de transmission électriques (réseaux HVDC), hydrauliques et pneumatiques (réseaux de distribution du gaz, de l'eau et du fuel). La thèse se concentre sur l'analyse modulaire et la commande au bord d'une ligne élémentaire représentée par un système de lois de bilan en dimension infinie, où la dynamique de la ligne est prise en considération au moyen d'équations aux dérivées partielles hyperboliques linéaires du premier ordre et couplées deux à deux. Cette dynamique permet de modéliser d'une manière rigoureuse les phénomènes de transport et les vitesses finies de propagation, aspects normalement négligés dans le régime transitoire. Les développements de ces travaux sont des outils d'analyse qui testent la stabilité du système, et de commande au bord pour la stabilisation autour d'un point d'équilibre. Dans la partie analyse, nous considérons un système de lois de bilan avec des couplages statiques aux bords et anti-diagonaux à l’intérieur du domaine. Nous proposons des conditions suffisantes de stabilité, tant explicites en termes des coefficients du système, que numériques par la construction d'un algorithme. La méthode se base sur la reformulation du problème en une analyse, dans le domaine fréquentiel, d'un système à retard obtenu en appliquant une transformation backstepping au système de départ. Dans le travail de stabilisation, un couplage avec des dynamiques décrites par des équations différentielles ordinaires (EDO) aux deux bords des EDP est considéré. Nous développons une transformation backstepping (bornée et inversible) et une loi de commande qui, à la fois stabilise les EDP à l'intérieur du domaine et la dynamique des EDO, et élimine les couplages qui peuvent potentiellement mener à l’instabilité. L'efficacité de la loi de commande est illustrée par une simulation numérique.
Domaines
Automatique / Robotique
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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