, Nous n'avons pas parlé d'orientation dans l'exposition de la théorie classique de Floer, nous suivons la démarche de Floer et Hofer exposée dans [11] dont nous donnons les étapes. (A) Fixer des trivialisations le long des tores d'orbites critiques

, Considérer l'ensemble O des opérateurs de la forme ? s + A(s) : W 1,p,? (R × S 1

V. ?-l-p,?-(r-×-s-1, V un espace vectoriel de dimension fini représentant les sections induites par l'action de groupe près des extrémités et lim s?±? A(s) représentant un opérateur asymptotique lu dans les trivialisations précédemment choisies. (C) Les arguments avancés en section 6 permettent de montrer que O est constitué d'opérateurs de Fredholm

. Étant-donné-u-?-m(s-p-+-,-s-p-?-), U représente donc un opérateur dans L ? O, s'il est surjectif, orienter son noyau revient à orienter ( max ker L) ?, Dans ces coordonnées

E. Celle-de and . Vérifier-que,

.. .. N+n-?-t-?-w-×-t-e-de-sorte-que-{x-i-|-i-?-{1 and . N}}-?-{y-k-|-k-?-{1,

, Soit p = (? , z ) = g.(?, z) ? S p une orbite dans la même variété critique, alors {g * X i |i ? {1,. .. , n}}?{g * Y k |k ? {1. .. n+N } est une base le long de ? (S 1 ) × {z } et, L 2 (S 1 , R 2n+N ) l'opérateur aysmptotique D p dans ces coordonnées

, Il vient, par notre choix de trivialisation pour chaque orbite critique, qu'il correspond un unique opérateur par variété critique S p que nous notons L p : H 1 (S 1

, Lp 2 l'ensemble des opérateurs de la forme L = ? s + A(s) : W 1,p,? (R × S 1 , R 2n+N ) ? V ? L p,? (R × S 1 , R 2n+N ) avec (a) lim s??? A(s) = L p 1 , lim s?+? A(s) = L p 2 , (b) V = V 1 ? V 2 où V 1 (resp. V 2 ) est engendré par ? ? X (resp. ? + X) avec X ? R n × {0 R n+N } et ? ? (resp. ? + ) est une fonction valant 1, nous définissons maintenant O Lp 1

. Comme-l-p-i-correspond-À-un, ) p?Crit(A H ) de sorte que # : E p 0 ,p × E p,p 0 ? E p 0 ,p 0 préserve l'orientation. Les deux choix d'orientation pour E p 0 ,p 0 coincident. Il suffit de le vérifier pour ? s + D p 0. Or, son noyau étant composé de sections à coordonnées constantes, la projection orthogonale ker(? s + D p 0 ) × ? ker

D. and H. )-u-=-t-u-m, nous choisissons une trivialisation le long de U coincidant avec celles préalablement choisies le long des orbites. L'opérateur (D? J,H ) U induit en coordonnées un élément de L ? O p + ,p ? et l'orientation de (E p + ,p ? ) L induit donc une orientation de ker, Une fois une trivialisation équivariante choisie pour chaque S p , étant donné U ? M(S p + , S p ? )

, Soit M m une variété orientée munie d'une action lisse, libre, propre et préservant l'orientation d'un groupe de Lie G n lui aussi orienté. Nous orientons le quotient comme suit, Convention 1. Nous adoptons les conventions d'orientation suivantes. (I)

, Soit p i ? Crit(A H ), i = 1, 2, 3 trois points critiques préalablement choisis dans les variétés critiques correspondantes S p i avec µ(p i+1 ) ? µ(p i ) = 1, i ? {1, 2}. Ces choix nous permettent d'identifier chaque S p i avec T n et nous orientons les produits fibrés M

?. ,

, où la première flèche désigne l'inclusion et la deuxième ?ev * + ev *

;. Si, .. .. , and .. .. ,

, Nous définissons l'homologie symplectique torique en degré N pour la classe a associée à la paire (H, J, g) comme l'homologie du complexe construit précédemment, Les points critiques près de {0}×T n ×{0}×T n correspondent donc à et en passant à limite quand N ? +? SH T n (W, ?, µ) H T n (W, ? ? )

. Bibliographie,

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C. Wendl, Dynamique Hamiltonienne Résumé : Cette thése établit l'existence d'une variante de l'homologie de Floer de type MorseBott. Étant donnés une variété torique (W 2n , ?, µ) et un hamiltonien H : W ×S 1 ? R invariant par l'action du tore de dimension n T n , les orbites de H sont stables par l'action torique. Cette dernière admettant des points fixes dans W , elle n'est pas libre, pareillement pour celle induit sur les lacets de W et il est, a priori, Titre : Homologie symplectique T n-équivariante pour les variétés toriques hamiltoniennes Mots Clefs : Géométrie symplectique, Géométrie torique

, L'homologie obtenue est un invariant pour les variétés symplectiques toriques et nous le calculons dans le cas d'une variété fermée

, Discovery-RD 128-2e ét

, Hamiltonian dynamics Abstract : This thesis establishes the existence of a version of Floer homology in a Morse-Bott context. Given a toric manifold (W n , ?, µ) and a hamiltonian H : W × S 1 ? R invariant by the action of the torus T n , the periodical orbits of H are stable by the toric action. The latter admits fix points in W and hence it not free, neither the one induced on the space of the loops of W and it is, a priori, impossible to establish a equivariant infinite-dimensional Morse-Bott theory on C ? (S 1 , W )/T n. We deal with this problem using Borel's construction : we choose a space contractible E with a free action from the torus and look at the infinite-dimensional Morse-Bott homology of the space, Title : T n-equivariant symplectic homology for toric hamiltonian manifolds Keys words : Symplectic geometry, Toric geometry, Floer homology