, Le monoïde libre engendré est l'ensemble des mots de ? * qui commencent par 1, L'ensemble des mots W 10 * = {10 k , k ? 0} sur l'alphabet B = {0, 1} est une famille libre inni dénombrable

, j 2 · · · 10 jm sur la famille W 10 * , avec i k , j k ? N, par unicité de la décomposition sur la base {0, 1} du monoïde libre B * , on a : n = m et i k = j k pour tout indice 1 ? i ? n. Ainsi le morphisme ? W 10 * est injectif, Preuve : Si un mot admet deux écritures 10 i 1 10 i 2 · · · 10 in et 10 j 1 10

, Par permutation des lettres 0 et 1, il est clair que l'ensemble des mots W 01 * = {01 k , k ? 0} sur l'alphabet B = {0, 1} est une famille libre. Le monoïde libre engendré est l'ensemble des mots qui commencent par 0 (et le mot vide

, l , k, l ? 1} est une base innie dénombrable de l'ensemble des mots de B * qui commencent par 1 et qui terminent par 0 (et le mot vide

, Par permutation des lettres 0 et 1, l'ensemble W 00 * 1 * 1 = {0 k 1 l , k, l ? 1} est une base de l'ensemble des mots de B * qui commencent par 0 et qui terminent par 1

, Permutations circulaires Étant donné une famille libre W = {w i ) i?I , le groupe des entiers relatifs (Z, +, 0) agit par permutation circulaire sur les mots de W ?longueur donné

V. I. Dénition, 7 Un vecteur V = (x, y) du réseau des entiers Z 2 est dit primitif si pgcd

, Étant donnés A et B deux points du réseau des entiers Z 2. Un vecteur V = B ? A est primitif si et seulement si l

S. Réciproquement and . Le-vecteur-v, w) n'est pas primitif, le couple (v, w) n'est pas une Z?base de Z 2

, Proposition VI.10 Soient u et v deux vecteurs entiers du plan. On a : ˆ Les vecteurs u et v sont colinéaires si et

, ˆ La famille (u, v) est une base du réseau des entiers si et seulement si A u,v = 1

ˆ. Dans-le-plan and . Orienté,

ˆ. Dans-le-plan and . Orienté,

, Polygones convexes entiers-Aires minimales

V. I. Dénition,

, Un polygone entier (ou n?gone) est la classe d'équivalence pour les permutations cycliques sont pas alignés. Les points sont appelés les sommets du polygone. On considérera l'ensemble des indices j modulo n

. ˆ-une-n?-ligne-brisée-entière, ?ligne brisée, ou simplement ligne brisée) l est une suite de n + 1 ? 1 points du plan ane Z 2

ˆ. Une-ligne-brisée-l-=,

V. I. Dénition, , p.15

.. .. ˆ-une-n?ligne-brisée-l-=-;, t n ) est localement convexe si pour tout 1 ? j ? j ? 1, l'angle algébrique

. ˆ-une-n?ligne-brisée, t n ) est 1?minimale si pour tout 1 ? j ? n ? 1, les points t j?1 , t j , t j+1 ne sont pas alignés et pour tout 0 ? j ? n ? 1, le segment t j+1 ? t j n'a pas de points entiers intérieurs

. ˆ-une-n?ligne-brisée-l-=, t n ) avec n ? 2 est 2?minimale si i) l est 1?minimale, ii) et pour tout 0 ? j ? n ? 1, le triangle déni par deux segments consécutifs ?

V. I. Remarque, , p.16

. .. , t n ) avec n ? 2, pour tout 1 ? i ? n ? 1, le couple (t j ? t j?1 , t j+1 ? t j ) forme une base directe du réseau Z 2 et le triplet, ˆ Étant donnée une ligne brisée localement convexe 1?minimale l = (t 0 , t 1

ˆ. Le-théorème-de-pick and ;. , t n ) est 2?minimale si pour tout indice 1 ? j ? n ? 1, l'aire A j = |det, une ligne brisée l = (t 0 , t 1

. ˆ-un-n?gone-p-=, P j ) 0?j?n?1 est localement convexe si la ligne brisée

. .. ˆ-un-n?gone-p-=-;, P n?1 , P 0 , P 1 ) ne fait pas de boucle (autrement dit, le polygone est simple : deux segments non consécutifs

, Si l'indice est demi-entier, la ligne brisée ne fait pas un nombre de tour complet

, Le noyau de?µde? de?µ est l'ensemble des mots du noyau µ d'indice entier : Ker?µKer? Ker?µ = [?] N. Les polygones convexes entiers sont les lignes brisées qui se referment

, Ce travail de recherche suggère plusieurs approfondissements et ouvertures. Dans cette partie, on explicite quatre problèmes ouverts qui émanent de cette étude

, Les mots non maximaux du noyau de µ |B *

. Dans-le-chapitre, IV sur le modèle binaire lié à la présentation {0, 1}|h = (000 ? ?, v = 101 ? 00 de P SL 2 (Z), l'étude est principalement orientée vers les mots maximaux du noyau de µ |B * : B * ? P SL 2 (Z) et plus généralement vers les châteaux maximaux de l'image réciproque µ ?1 |B * (I

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