, Le monoïde libre engendré est l'ensemble des mots de ? * qui commencent par 1, L'ensemble des mots W 10 * = {10 k , k ? 0} sur l'alphabet B = {0, 1} est une famille libre inni dénombrable
, j 2 · · · 10 jm sur la famille W 10 * , avec i k , j k ? N, par unicité de la décomposition sur la base {0, 1} du monoïde libre B * , on a : n = m et i k = j k pour tout indice 1 ? i ? n. Ainsi le morphisme ? W 10 * est injectif, Preuve : Si un mot admet deux écritures 10 i 1 10 i 2 · · · 10 in et 10 j 1 10
, Par permutation des lettres 0 et 1, il est clair que l'ensemble des mots W 01 * = {01 k , k ? 0} sur l'alphabet B = {0, 1} est une famille libre. Le monoïde libre engendré est l'ensemble des mots qui commencent par 0 (et le mot vide
, l , k, l ? 1} est une base innie dénombrable de l'ensemble des mots de B * qui commencent par 1 et qui terminent par 0 (et le mot vide
, Par permutation des lettres 0 et 1, l'ensemble W 00 * 1 * 1 = {0 k 1 l , k, l ? 1} est une base de l'ensemble des mots de B * qui commencent par 0 et qui terminent par 1
, Permutations circulaires Étant donné une famille libre W = {w i ) i?I , le groupe des entiers relatifs (Z, +, 0) agit par permutation circulaire sur les mots de W ?longueur donné
7 Un vecteur V = (x, y) du réseau des entiers Z 2 est dit primitif si pgcd ,
, Étant donnés A et B deux points du réseau des entiers Z 2. Un vecteur V = B ? A est primitif si et seulement si l
w) n'est pas primitif, le couple (v, w) n'est pas une Z?base de Z 2 ,
, Proposition VI.10 Soient u et v deux vecteurs entiers du plan. On a : Les vecteurs u et v sont colinéaires si et
, La famille (u, v) est une base du réseau des entiers si et seulement si A u,v = 1
,
,
, Polygones convexes entiers-Aires minimales
,
, Un polygone entier (ou n?gone) est la classe d'équivalence pour les permutations cycliques sont pas alignés. Les points sont appelés les sommets du polygone. On considérera l'ensemble des indices j modulo n
?ligne brisée, ou simplement ligne brisée) l est une suite de n + 1 ? 1 points du plan ane Z 2 ,
,
, , p.15
t n ) est localement convexe si pour tout 1 ? j ? j ? 1, l'angle algébrique ,
t n ) est 1?minimale si pour tout 1 ? j ? n ? 1, les points t j?1 , t j , t j+1 ne sont pas alignés et pour tout 0 ? j ? n ? 1, le segment t j+1 ? t j n'a pas de points entiers intérieurs ,
t n ) avec n ? 2 est 2?minimale si i) l est 1?minimale, ii) et pour tout 0 ? j ? n ? 1, le triangle déni par deux segments consécutifs ? ,
, , p.16
t n ) avec n ? 2, pour tout 1 ? i ? n ? 1, le couple (t j ? t j?1 , t j+1 ? t j ) forme une base directe du réseau Z 2 et le triplet, Étant donnée une ligne brisée localement convexe 1?minimale l = (t 0 , t 1 ,
t n ) est 2?minimale si pour tout indice 1 ? j ? n ? 1, l'aire A j = |det, une ligne brisée l = (t 0 , t 1 ,
P j ) 0?j?n?1 est localement convexe si la ligne brisée ,
P n?1 , P 0 , P 1 ) ne fait pas de boucle (autrement dit, le polygone est simple : deux segments non consécutifs ,
, Si l'indice est demi-entier, la ligne brisée ne fait pas un nombre de tour complet
, Le noyau de?µde? de?µ est l'ensemble des mots du noyau µ d'indice entier : Ker?µKer? Ker?µ = [?] N. Les polygones convexes entiers sont les lignes brisées qui se referment
, Ce travail de recherche suggère plusieurs approfondissements et ouvertures. Dans cette partie, on explicite quatre problèmes ouverts qui émanent de cette étude
, Les mots non maximaux du noyau de µ |B *
IV sur le modèle binaire lié à la présentation {0, 1}|h = (000 ? ?, v = 101 ? 00 de P SL 2 (Z), l'étude est principalement orientée vers les mots maximaux du noyau de µ |B * : B * ? P SL 2 (Z) et plus généralement vers les châteaux maximaux de l'image réciproque µ ?1 |B * (I ,
Enumeration of Triangulations of the Disk, Proc. Lond. Math. Soc, pp.746-768, 1964. ,
The minimum area of convex lattice n-gons, Combinatorica, vol.24, issue.2, p.171185, 2004. ,
On the minimum area of convex lattice polygons, Taiwanese Journal of Mathematics, vol.1, issue.4, 1997. ,
A note on bounds on the minimum area of convex lattice polygons, Bull. Austral. Math. Soc, vol.45, p.237240, 1992. ,
Le problème d'isotopie des tresses, Leçons mathématiques de Bordeaux, Cassini, vol.4, pp.259-300, 2011. ,
The Art of Computer Programming-Combinatorial Algorithms, vol.4, 2006. ,
Combinatorial Group Theory-Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations, Courier Corporation, 2004. ,
, On the rst unknown value of the function g(v), Electronic Notes in Discrete Mathematics, vol.24, pp.181-185, 2006.
Convex Lattice Polygons, 1986. ,
, ?gon, Geombinatorics, vol.II, issue.3, p.8588, 1993.
A course in arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, vol.7, p.77111, 1973. ,
Convex lattice polygons of minimum area, Bull. Austral. Math. Soc, vol.42, p.353367, 1990. ,
An On-Line Version of the Encyclopedia of Integer Sequences, 1964. ,
, , vol.2, p.219229, 1999.
, Catalan numbers, 2015.
,
,
, , 1994.