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Theses

Les nombres de Catalan et le groupe modulaire PSL2(Z)

Résumé : Dans ce mémoire de thèse, on étudie le morphisme de monoïde $mu$du monoïde libre sur l'alphabet des entiers $nb$,`a valeurs dans le groupe modulaire $PSL_2(zb)$,considéré comme monoïde, défini pour tout entier $a$ par $mu(a)=begin{pmatrix} 0 & -1 1 & a+1 end{pmatrix}.$Les nombres de Catalan apparaissent naturellement dans l'étudede sous-ensembles du noyau de $mu$.Dans un premier temps, on met en évidence deux systèmes de réécriture, l'un sur l'alphabet fini ${0,1}$, l'autresur l'alphabet infini des entiers $nb$ et on montreque ces deux systèmes de réécriture définissent des présentations de monoïde de $PSL_2(zb)$ par générateurs et relations.Par ailleurs, on introduit le morphisme d'indice associé `a l'abélianisé du rev^etement universel de $PSL_2(zb)$,le groupe $B_3$ des tresses `a trois brins. Interprété dans deux contextes différents,le morphisme d'indice est associé au nombre de "demi-tours".Ensuite, dans les quatrième et cinquième parties, on dénombre des sous-ensembles du noyau de $mu_{|{0,1}}$ etdu noyau de $mu$, bigradués par la longueur et l'indice. La suite des nombres de Catalan et d'autres diagonales du triangle de Catalan interviennentsimplement dans les résultats.Enfin, on présente l'origine géométrique de cette étude : on explicite le lien entre l'objectif premier de la thèse qui était l'étudedes polygones convexes entiers d'aire minimale et notre intéret pour le monoïde engendré par ces matrices particulières de $PSL_2(zb)$.
Document type :
Theses
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https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02024805
Contributor : Abes Star :  Contact
Submitted on : Tuesday, February 19, 2019 - 1:16:10 PM
Last modification on : Wednesday, July 15, 2020 - 9:22:05 AM
Document(s) archivé(s) le : Monday, May 20, 2019 - 3:46:16 PM

File

GUICHARD_2018_archivage.pdf
Version validated by the jury (STAR)

Identifiers

  • HAL Id : tel-02024805, version 1

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Citation

Christelle Guichard. Les nombres de Catalan et le groupe modulaire PSL2(Z). Théorie des nombres [math.NT]. Université Grenoble Alpes, 2018. Français. ⟨NNT : 2018GREAM057⟩. ⟨tel-02024805⟩

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