Almost homogeneous curves and surfaces
Courbes et surfaces presque homogènes
Résumé
The varieties having a dense orbit under the action of a group are said to be almost homogeneous. Those are objects with a very rich geometry and have been extensively studied for the last 50 years ; this includes toric varieties. The purpose of this thesis is to classify the pairs (X,G) where X is an algebraic curve or surface, defined over an arbitrary field, and G is a smooth connected algebraic group, acting faithfully on X with a dense orbit. The classification relies on the study of the equivariant regular completions of X.The study of almost homogeneous curves highlights the class of seminormal curves. We get a full classification of the pairs (X,G) when X is a seminormal curve. We also describe all almost homogeneous curves (over an arbitrary field), thus generalizing a result of Vladimir Popov. Finally, we determine the linearized line bundles over seminormal almost homogeneous curves.The last chapter deals with the case of surfaces. Again, we get a classification of the pairs (X,G) when X is a surface and G is not affine. When G is affine, the surface is rational. We then describe, over an algebraically closed field, the homogeneous surfaces and their relatively minimal equivariant regular completions. In characteristic zero, we also determine the acting groups. Many new phenomena occur in positive characteristic, and some of our results are incomplete in this setting.
Les variétés possédant une orbite dense sous l'opération d'un groupe sont dites presque homogènes. Il s'agit d'objets ayant une géométrie très riche, qui ont été abondamment étudiés ces 50 dernières années ; cela inclut notamment les variétés toriques. L'objectif de cette thèse est d'obtenir une classification des couples (X,G) où X est une courbe ou une surface algébrique, définie sur un corps quelconque, et G est un groupe algébrique lisse connexe opérant fidèlement dans X et possédant une orbite dense. Cette classification passe par l'étude des complétions régulières équivariantes de X.Un premier chapitre regroupe des rappels sur les opérations de groupes algébriques ainsi que plusieurs résultats préliminaires utiles par la suite.L'étude des courbes presque homogènes fait ressortir une classe particulière, celle des courbes seminormales. Nous obtenons une classification complète des couples (X,G) quand X est une courbe seminormale. Nous décrivons aussi les courbes quelconques presque homogènes (sur un corps quelconque), généralisant ainsi un résultat de Vladimir Popov. Enfin, nous déterminons les fibrés en droites linéarisés sur les courbes seminormales presque homogènes.Le dernier chapitre traite le cas des surfaces. À nouveau, nous obtenons une classification des couples (X,G) quand X est une surface et G n'est pas affine. Quand G est affine, la surface est rationnelle. Nous décrivons alors, sur un corps algébriquement clos, les surfaces homogènes et leurs complétions régulières équivariantes relativement minimales. En caractéristique nulle, nous déterminons aussi les groupes qui opèrent. Beaucoup de phénomènes nouveaux se produisent en caractéristique positive, et certains de nos résultats sont incomplets dans ce cadre.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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