, Lien entre la strate M g,g (h) et la jacobienne Jac m (C ? )
, Nous montrons également que les champs de vecteurs indépendants D i sont envoyés par ce morphisme sur des champs invariants sur le groupe algébrique J m, nous définissons un morphisme injectif entre la strate M g,g (h) et un ouvert de la jacobienne Jac m (C ? )
, Soit A(x) = v(x) u(x) w(x) ?v(x)
,
,
A(x) = v(x) u(x) w(x) ?v(x) ,
, ? a) 2k ) = (x ? a) 2k?1 avec k ? N *
De même, comme (x ? a) 2k?1 divise P 2 (x) ceci implique que (x ? a) 2k divise P 2 (x), x ? a) 2k?1 divise le coté gauche de l'égalité (5.5), p.2 ,
, On conclut que toute racine du polynôme PGCD(P 2 , u) est une racine d'ordre pair, d'où l'il existence d'un (unique) polynôme unitaire Q tel que Q 2 (x) = PGCD
De l'égalité (5.5), on voit que si PGCD(P 2 , u) = Q 2 alors Q divise v. Soit a une racine de Q d'ordre k, c'est-à-dire a est une racine de PGCD, Nous montrons ensuite que PGCD ,
Si a est une racine d'ordre au moins k + 1 de P et v, de l'égalité (5.5) et du fait que PGCD(u, v, w) = 1 on a que a est une racine u d'ordre 2k + 2. Alors a est une racine d'ordre 2k + 2 de PGCD(P 2 , u), ce qui est une contradiction. Donc a est une racine de Q d'ordre k et PGCD(P, u, v) = Q. Pour la réciproque ,
, , vol.1
, mais PGCD(P 2 , u) = Q 2. d'après ce qu'il précède PGCD(P, u, v) 2 = PGCD(P 2 , u), c'est-à-dire PGCD(P, u, v) 2 = Q, contradiction avec les hypothèses. Pour prouver le second point de la proposition on
, Définition 5.12. On note par ? l'application entre M g,g (h) et Jac m (C ? ) définie de la manière suivante : ? : M g,g (h)
Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras, and curves, Adv. in Math, vol.38, issue.3, pp.267-317, 1980. ,
Linearization of Hamiltonian systems, Jacobi varieties and representation theory, Adv. in Math, vol.38, issue.3, pp.318-379, 1980. ,
Algebraic integrability, Painlevé geometry and Lie algebras, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol.47 ,
, Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas
, , 2004.
Geometry of algebraic curves, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.I ,
, , 1985.
, Spinning tops, vol.51, 1996.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00135289
Hamiltonian systems and their integrability, SMF/AMS Texts and Monographs, vol.15, 2008. ,
Introduction to classical integrable systems, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 2003. ,
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00101459
Algorithms in real algebraic geometry, Algorithms and Computation in Mathematics, vol.10, 2003. ,
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01083587
Jacobiennes des courbes spectrales et systèmes hamiltoniens complètement intégrables, Acta Math, vol.164, issue.3-4, pp.211-235, 1990. ,
Generalized Jacobians of spectral curves and completely integrable systems, Math. Z, vol.230, issue.3, pp.487-508, 1999. ,
Linearizing flows and a cohomology interpretation of Lax equations, Seminar on nonlinear partial differential equations, vol.2, pp.37-46, 1983. ,
Principles of algebraic geometry, 1994. ,
,
Algebraic integrable systems related to spectral curves with automorphisms, J. Geom. Phys, vol.87, pp.198-216, 2015. ,
Poisson structures, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.347 ,
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00809199
, , 2013.
Complex projective varieties, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, issue.221, 1976. ,
The red book of varieties and schemes, Lecture Notes in Mathematics, vol.1358, 1974. ,
Jacobian theta functions and differential equations, With the collaboration of, Tata lectures on theta. II. Modern Birkhäuser Classics, 2007. ,
Publications de l'institut de mathématique de l'université de Nancago, 1959. ,
Algebraic groups and class fields, Graduate Texts in Mathematics, vol.117, 1988. ,
Basic algebraic geometry, vol.1 ,
Basic algebraic geometry. 2 ,
A comprehensive introduction to differential geometry, 1979. ,
Stratifications of hyperelliptic Jacobians and the Sato Grassmannian, Acta Appl. Math, vol.40, issue.2, pp.143-172, 1995. ,
Integrable systems in the realm of algebraic geometry, Lecture Notes in Mathematics, vol.1638, 2001. ,