Study of the singular fibers of the odd and even Mumford systems

Étude des fibres singulières des systèmes de Mumford impairs et pairs

Yasmine Fittouhi (1)

1 LMA [Poitiers] - Laboratoire de mathématiques et applications [UMR 7348]

This thesis is dedicated to the study and to the description of the fibres of the momentum map of the (even or odd) Mumford system of degree g>0. These fibres are parameterized by hyperelliptic curves. Mumford proved that each fiber over a smooth curve is isomorphic to the Jacobian of the curve, minus its theta divisor. We give a geometrical as well as an algebraic description of the fibers over any singular curve. The geometrical description uses in an essential way the g vector field of the Mumford system. They define a stratification of each fiber where each stratum is isomorphic to a particular stratum, called the maximal stratum, of a fiber of a Mumford system of degree at most g. The algebraic description uses the theory of subresultants, which is applied to the polynomials which parametrize the points of phase space. We show that every stratum is isomorphic with an affine part of the generalized Jacobian of a singular hyperelliptic curve. We also prove that the Mumford vector fields are translation invariant on these generalized Jacobians.

Cette thèse est consacrée à l'étude des fibres de l'application moment du système de Mumford (pair ou impair) d'ordre g>0. Ces fibres sont paramétrées par des courbes hyperelliptiques de genre g. Comme l'a démontré Mumford, la fibre au-dessus d'une telle courbe lisse est la jacobienne de la courbe, moins son diviseur thêta. Nous décrivons les fibres au-dessus d'une courbe singulière, à la fois de manière algébrique et géométrique. Pour ce faire, nous utilisons de façon essentielle les g champs de vecteurs du système de Mumford, qui définissent une stratification de chaque fibre, où chaque strate est isomorphe à une strate particulière (dite maximale) d'une fibre d'un système de Mumford d'ordre inférieur. Sur cette strate, tous les champs de vecteurs du système de Mumford sont linéairement indépendants en tout point. Nous décrivons cette strate comme un ouvert de la jacobienne généralisée d'une courbe hyperelliptique singulière. Nous montrons également que sur la jacobienne généralisée, les champs de Mumford sont des champs invariants par translation.

Mots clés: Hyperelliptic curve; Singularity integrable system; Stratification Jacobian

Mots clés: Systèmes intégrables; Courbes algébriques singulières; Jacobiennes généralisées

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Yasmine Fittouhi. Étude des fibres singulières des systèmes de Mumford impairs et pairs. Géométrie algébrique [math.AG]. Université de Poitiers, 2017. Français. ⟨NNT : 2017POIT2252⟩. ⟨tel-01981449⟩