;. Et-tint and . Ai-;-faty-g-g-et-donc-z-g-g, Comme y G (J)toB, z G (f)At (cf)to B). Par conséquent

, A^[cf)to~niAtB\, vol.2

. Ainsi, fito~niAt B, et donc z G 0(ni + i)Af Aé^ = fAt{(j)toB). Par ailleurs, Tini(y\G) < Ai et

A. Textiy-;-c)-=-ni, On a donc Supposons maintenant qu'il existe z G (f>At((J)toB) D g) tel que z ^ fAt[\L(j)toB\{) (Ai)) et z ^ 0(ni + i)A^ j'^o-niAijçjj ^(Ai)). Comme z G (frAt(4>toB), f>~Atz G f>toB (car 0A* est bijective, de réciproque (j)~At)

, Posons x-0~(ni+1)AG. Comme z G fAt((j)toB), x G cf)to~niAtB. Ainsi, t G (f)to~niAtB fl G

, Par conséquent, z G 0(ni+i)At A/1 (Ai), ce qui est contradictoire. On a donc d)At((j)t0B) nG = (f)At ([V<05]0 (Ai)) J 0(ni+1)A*

, Structures lagrangiennes d'équations dissipatives 159

. , Comme [caVf )2x(i) = ^x(t), vol.1

G. C°, «A(Z/1/2) est bien définie, Les dérivées partielles de L vérifient ? d\L(x{t),T-ll2caV\12 x{t),T~lx'{t),t}j =-Vf/(x(f)

. Puisque-x&apos;-g-ac, cfiDXJ2 x-alJ/2 x' G AC

&. De-plus and . Ac, 1. C'est, en fait ici que se justifie la condition sur n du corollaire 2.2 et l'introduction de x, donc <93L(x(#), caT>\12 x(*),x'(?),?) G AC

, + 1 (choix naturel au vue du chapitre 2) plutôt que ai, il aurait fallu ici que x' G AC2

P. Co° and ;. Acq, le choix de {0} x ACq([û,6]) pour les variations est valide et le théorème 9.1 peut être appliqué : (x,0) est une {0} x AC{j([a, 6])-extrémale de l'action-4(Li/2) si et seulement x vérifie, vol.9

, (cVa)1 plutôt que cDai à. l'intérieur du plongement fractionnaire trans paraît dans ce cas particulier. Effectivement, si l'on avait choisit des ordres fractionnaires du type ai, l'évaluation du Lagrangien aurait

, Il aurait, fallu par conséquent imposer x'(a)-0 afin de retrouver (ELk)^, ce qui aurait été trop restrictif dans le cas général. Notons toutefois que dans le cas de la friction, cette condition n'est, pas indispensable puisque seule la dérivée de x'(t)-x1 (a) intervient. Les solutions de (9.1) peuvent donc être obtenues par un principe de moindre action (en minimisant l'action lagrangienne A(Li/f)). L'objectif de Riewe est cette fois atteint pour l'équation de friction linéaire

R. N. Soit-d-un-ouvert-borné-régulier-de, Nous ne nous intéressons plus ici à l'évolution d'une trajectoire x(t) mais à celle d'une fonction u(x,t) G R, avec (x,t) G Ll x [a, 6], appelée champ. La température T(x,t) de la section 1.1.2, la densité de probabilité P{x,t) de la section 6.3 en sont des exemples. Considérons plus précisément l

, Afin de lui associer un Lagrangien fractionnaire, étendons les Lagrangiens aux fonctions de plu

, Alors / u(x). cd<*v(x) dx = Jn dfu(x).v{x) dx

. , Commençons par étendre sur RN les fonctions u, cd^v, dfu et v en les prenant milles si x G RN\Q. Dans ce cas. u(x). cd<*v(x) dx = / u(x). cd<*v(x) dx, Jn-+oo u{x)cd^v{x) dxi dxi

, Le terme entre crochets peut s'écrire sous la forme suivante : C+OO rbi'X / u(x).cd'*v(x)dxi= Ui'X(xi)cx

. «y-cc-j-~ and . Oo,

C. Ui, ). Cl, ;. V{tx-g-cq, and ;. Cq, on peut utiliser la formule d'intégration par parties du corollaire 2.2 : Ui,x{Xi) CXiV*. x Vi)X(Xi) dXi = / ai<xVXi Ui)X(Xi) Vi)X(Xi) dXi, d?u(x)viyX(xi) dxi, G Cl (Q) et v-(v\

, En développant le produit scalaire sur la base canonique, on obtient N / v(x) cV°u(x) dx = Y'' / Vi{x) cu{x) dx

J. Jn and D. , (x) cdc*u{x) dx-f d?Vi{x)u{x) dx

, Structures lagrangiennes d'équations dissipatives 10. Schémas numériques pour les systèmes lagrangiens fractionnaires de discrétisation

. Soit,

, On définit la discrétisation de / par / ^ (fk)o<k<n, où fk = f(tk)

-. Par-conséquent,-si-g-:-rm and . Rp,

. La-dérivée-de-grünwald-letnikov-est-utilisée-ici-pour-discrétiser-la-dérivée-fractionnaire, Définie sur R au chapitre 2, nous avons noté qu'elle coïncidait avec la dérivée de Marchaud, voire de Liouville si la fonction est assez régulière

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