L. Petit and . Fonction-?-:-v-?-r-vérifiant-:-?-=-r-sur-{r-<-?},

?. =-?-?-pr,

. Est-bien-définie, En effet, pour ? > 0 suffisamment petit, si t ? D 1 la fibre (t × V ) ? {R < ?} ? (V, g) est totalement géodésique, donc R = ? ? pr 2 sur (D 1 × V ) ? {R < ?}

, ?| ? ?1 (t) est J-convexe sur {R < ?/3} si t ? D (resp. sur tout ? ?1 (t) si t ? D ? 1 )

, On montre qu'il existe une 1forme ? t sur ? ?1 (t) dont le d? t-dual est de type gradient pour ?| ? ?1 (t) et telle que ? t = ?d J ? ? ?1 (t) au voisinage de {? ? ?/3} (resp. partout dans le cas où t ? D ? 1 ). D'une part, en restriction à ? ?1 (t) ? {? ? ?/3}, la fonction ? est J-convexe donc la 1-forme ?d J ? convient. D'autre part, en restriction à ? ?1 (t) ? {? > ?/2}, la fonction ? est J 0-convexe l'image des 1-formes ?d, On construit maintenant la 1-forme ?. Soit t ? D, vol.1

, Il reste à montrer la propriété «famille de cobordismes». L'hypersurface {? = ?/4} ? U est transverse à chaque fibre ? ?1 (t) donc la valeur a := ?/4 convient. Le domaine V est un sous-niveau régulier {? ? b + } et ? = ? ? pr 2 sur {? > ?/2} ? D ? 1 × V , donc la valeur b + convient. Si la sphère S ? V est lisse : On va se ramener au cas précédent. On fixe un plongement lisse i 0 : S n ? V de la sphère S. Par approximation analytique réelle, il existe une famille lisse de plongements, Les propriétés «fibre de référence» et «fibres convexes» sont vérifiées par construction et la propriété «cycle évanescent» est satisfaite d'après les propriétés de C-convexité de ? et d'après le lemme 3.14

, C-convexe (c'est possible car la C-convexité est une propriété C 2-ouverte)

, En appliquant la première partie de la preuve à la sphère analytique réelle i 1 (S n ) : on obtient une application holomorphe ? : V ? D, une fonction ? : V ? R et une 1forme ? vérifiant les conclusions de la proposition, en particulier, si on note p le point critique de ?, les caractéristiques de ? ?1, \ p pour ?dd C ? transportent i 1 (S n ) sur 3.4. De Weinstein à Stein plongements (h t : W ? {? t ? c}) t?I telle que ? t ?h t = ? au voisinage de ?W ?D t et, pour u ? Op(I ? R ?1 ), h u = Id. Ainsi, la fonction ? est h ? t J 0 t-convexe

, Avant de montrer comment le lemme 3.30 et le théorème 3.31 impliquent la proposition 3.27, on énonce sans preuve un lemme d'interpolation de structures de Weinstein sur un cobordisme sans point critique

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