, 1 : x ? 1 x , G (0) ? G (1) , l'application d'inclusion des objets

. , une involution i : G (1) ? G (1) , appelée inversion et notée i(?) = ? ?1

, des applications source s et but r de G (1) dans G (0)

, dénie sur l'ensemble G (2) ? (G (1) ) 2 des couples (? 2 , ? 1 ) pour lesquels r(? 1 ) = s(? 2 ), notée m, vol.2

, qui vérient les relations suivantes : 1. r(1 x ) = s(1 x ) = x et ?1 s(?) = 1 r(?) ? = ?

, 2. r(? ?1 ) = s(?) et ?? ?1 = 1 r(?)

, 3. s(? 2 ? 1 ) = s(? 1 ) et r(? 2 ? 1 ) = r(? 2 )

, ? 1 ) = (? 3 ? 2 )? 1 si

, Un sous-groupoïde H de G est un groupoïde avec H (1) ? G (1)

, Un groupoïde G est un groupoïde de Lie si G (0) et G (1) sont des variétés lisses telles que (1) la source s et le but r sont des submersions surjectives

, ) l'application d'inclusion des objets 1 : x ? 1 x , G (0) ? G (1) , l'involution i et la multiplication associative m sont lisses

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