Control issues for some fluid-solid models
Problèmes de contrôle pour certains modèles fluide-solide
Résumé
The analysis of the behavior of a solid or several solids inside a fluid is a long-standing problem, that one can see described in many classical textbooks of hydrodynamics. Its study from a mathematical viewpoint has attracted a growing attention, in particular in the last 15 years. This research project aims at focusing on several aspect of this mathematical analysis, in particular on control and asymptotic issues. A simple model of fluid-solid evolution is that of a single rigid body surrounded by a perfect incompressible fluid. The fluid is modeled by the Euler equations, while the solid evolves according to Newton’s law, and is influenced by the fluid’s pressure on the boundary. The goal of this PhD thesis would consist in various studies in this branch, and in particular would investigate questions of controllability of this system, as well as limit models for thin solids converging to a curve. We would also like to study the Navier-Stokes/solid control system in a similar manner to the previously discussed controllability problem for the Euler/solid system. Another direction for this PhD project is to obtain a limit when the solid concentrates into a curve. Is it possible to obtain a simplified model of a thin object evolving in a perfect fluid, in the same way as simplified models were obtained for objects that are small in all directions? This could open the way to future investigations on derivation of liquid crystal flows as the limit of the system describing the interaction between the fluid and a net of solid tubes when the diameter of the tubes is converging to zero.
L'analyse du comportement d'un solide ou de plusieurs solides à l'intérieur d'un fluide est un problème de longue date, que l'on peut voir décrit dans de nombreux manuels classiques d'hydrodynamique. Son étude d'un point de vue mathématique a suscité une attention croissante, en particulier au cours des 15 dernières années. Ce projet de recherche vise à mettre l'accent sur plusieurs aspects de cette analyse mathématique, en particulier sur le contrôle et les problèmes asymptotiques. Un modèle simple d'évolution fluide-solide est celui d'un seul corps rigide entouré d'un fluide incompressible parfait. Le fluide est modelé par les équations d'Euler, tandis que le solide évolue selon la loi de Newton et est influencé par la pression du fluide sur la limite. L'objectif de cette thèse de doctorat consisterait en diverses études dans cette branche et, en particulier, étudierait les questions de contrôlabilité de ce système, ainsi que des modèles de limite pour les solides minces qui convergent vers une courbe. Nous souhaitons également étudier le système de contrôle Navier-Stokes / solid d'une manière similaire au problème de contrôlabilité du système Euler / solid. Une autre direction pour ce projet de doctorat est d'obtenir une limite lorsque le solide se concentre dans une courbe. Est-il possible d'obtenir un modèle simplifié d'un objet mince évoluant dans un fluide parfait, de la même manière que des modèles simplifiés ont été obtenus pour des objets qui sont petits dans toutes les directions? Cela pourrait ouvrir la voie à des recherches futures sur la dérivation des flux de cristaux liquides comme limite du système décrivant l'interaction entre le fluide et un filet de tubes solides lorsque le diamètre des tubes converge à zéro.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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