, 1: Chaque processus p répète infiniment souvant l'ensemble d'actions suivantes : 2: p génère t p (q) : un temps aléatoire choisi uniformément dans l

, attend jusqu'à ce que l'un de ces évènements se produise : ; 4: 1. p reçoit 1 d'un voisin r : ; 5: p envoie 0 à tous les autres voisins (*Il y a un rendez-vous entre p et r*)

, 2. t = t p (q) et p n'a reçu aucun signal de q : ; 7: p envoie 1 à q et 0 à tous les autres voisins (*Il y a un rendez

, 8: 3. t = 1 (* le round est terminé sans que p ne prenne part à un rendez-vous*)

, Nombre de rendez-vous

G. Soit, E. )-un-graphe-de-taille-|-v-|=-n->-1, and . Tel-que-|-e-|=-m->-0.-l'algorithme-dynamic_rdv, Pour que cette hypothèse soit vraie, il suffit de considérer que pour chaque arête e = {u, v} de G, l'algorithme génère deux v.a. X e (u) et X e (v), correspondant aux valeurs t u (v) et t v (u) dans l'algorithme. Le premier rendez-vous aura lieu sur une arête e = {u, v} si une des v.a. X e (u) ou X e (v) est minimale dans tout le graphe. Ainsi, pour le premier rendez-vous dans G, toutes les arêtes ont la même chance 1/|E| d'être choisies. L'affectation du premier rendez-vous à u et v sur {u, v}, implique que ces deux sommets et toutes leurs arêtes adjacentes seront supprimées du graphe G. Le processus continue alors dans le graphe résiduel (sans regénérer de nouvelles dates de rendez-vous) jusqu'à ce que toutes les arêtes soient supprimées du graphe. Le nombre de rendez-vous dans un round est donc simplement le nombre total d'arêtes sur lesquelles un rendezvous a lieu. Soit R(G) ce nombre, il s'agit d'une v.a. entière dont la valeur est égale à 0 avec probabilité 1 si E = ?, à 1 avec probabilité 1 si |E| = 1 et à une, commence par générer 2|E| v.a. réelles indépendantes dans l'intervalle [0, 1[ : 2 v.a. pour chaque arête. Nous supposons que toutes les (2|E|)! permutations possibles sont équiprobables

. Fait, Soit G e = (V ? , E ? ) le graphe résiduel obtenu après suppression des sommets u et v et de leurs arêtes adjacentes. Alors toutes les (2|E ? |)! permutations des v

, Ce fait permet de calculer, récursivement, la distribution de probabilité de la v

, 1-Trois graphes connexes ayant le même ensemble de sommets

, Cette section s'intéresse à l'impact de l'ajout d'un sommet à un graphe connexe sur le nombre moyen de rendez-vous dans un graphe connexe. Nous montrons que cet impact est positif, et plus exactement, nous avons : Proposition 7.6 Soit G = (V, E) un graphe et G ? un graphe obtenu à en rajoutant un sommet x et zéro ou plus d'arêtes entre x des sommets de G

. Preuve, Par récurrence sur n = |V|. Pour n = 0, la proposition est triviale

. Soit-g-un-graphe-de-taille-n-et-soit-e-la-première-arête-sur-laquelle-un-rendez-vous-a-lieu-dans-g-?, On a alors deux cas selon que x est adjacent ou non à e. Pour prouver la proposition, il suffit de montrer que l'inégalité est vérifiée conditionnée par les deux événements E 1 et E 2 suivants : 1. Événement E 1. Soit e = {x, v} pour un sommet v ? V

, La proposition en résulte

, Nous calculons d'abords la valeur asymptotique de la probabilité d'un rendez-vous sur une arête du graphe. Soit G un graphe aléatoire de taille n et de degré moyen c. Dans ce modèle, la probabilité que deux sommets différents soient liés par une arête est égale à c/(n ? 1), ce qui permet d'obtenir un degré moyen égal à c. Soit {a, b} une arête existante dans G. Le but Annexe A. Curriculum Vitae Nom patronymique : ZEMMARI Prénom : Akka Date et lieu de naissance : le 01 mars 1973 à Irklaouen (Maroc) Nationalité : Française Situation de famille : Marié, un enfant Adresse personnelle : 9, rue des arbousiers, 33600 Pessac, Nombre de rendez-vous dans les graphes aléatoires Considèrons un graphe aléatoire de degré moyen c > 0

D. E. , d'informatique, option Architectures et applications massivement parallèles. Mémoire sur le routage compact et adaptatif, sous la direction du professeur Cyril Gavoille

, Thèse de Doctorat d'informatique, sous la direction d'Yves Métivier et Nasser Saheb : "Contribution à l'analyse d'algorithmes distribués

, Activités professionnelles : 2000-2001 Attaché Temporaire d'Enseignement et de Recherche (ATER) en Informatique, Université Bordeaux 1. 2001-Maître de Conférences en Informatique

, je suis directeur des études de la MIAGE de Bordeaux. J'ai en charge la participation à la définition du contenu pédagogique de la formation et la gestion de la coordination entre les responsables des trois années de formation, 2008.

B. Annexe, Liste des publications Thèse : [1] A. Zemmari. Contribution à l'analyse d'algorithmes distribués, 2000.

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