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Theses

Analysis of some nonlocal models in population dynamics

Résumé : Cette thèse est consacrée principalement à l’analyse mathématique de modèles non-locaux issus de la dynamique des populations. En général, l'étude de ces modèles se heurte à de nombreuses difficultés dues à l'absence de compacité et d'effets régularisants. A ce titre, leur analyse requiert de nouveaux outils tant théoriques que qualitatifs. Nous présentons des résultats recouvrant ces deux aspects. Dans une première partie, nous développons une "boîte à outils" destinée à traiter certaines quantités récurrentes dans l'étude de ces modèles. En premier lieu, nous étendons la caractérisation des espaces de Sobolev due à Bourgain, Brezis et Mironescu à des espaces de fonctions moins réguliers de type Besov, offrant ainsi un cadre théorique plus adapté à l’étude de certaines équations du type Fisher-KPP. En second lieu, nous étudions la régularité de ces fonctions par restriction sur des hyperplans. Nous montrons que, pour une large classe d'espaces de Besov, une surprenante perte de régularité a lieu. En outre, nous obtenons une caractérisation optimale de la régularité de ces restrictions via des espaces dits à "régularité généralisée". Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux propriétés qualitatives des solutions d'équations de réaction-diffusion non-locales posées dans des domaines possiblement hétérogènes. En collaboration avec J. Coville, F. Hamel et E. Valdinoci, nous considérons le cas d'un domaine perforé consistant en l’espace euclidien privé d’un ensemble compact appelé "obstacle". Lorsque ce dernier est convexe (ou presque convexe), nous montrons que les solutions sont nécessairement constantes. Dans un travail conjoint avec J. Coville, nous étudions plus en détail l'influence de la géométrie de l'obstacle sur la classification des solutions. En utilisant des outils du type de ceux développés dans la première partie de cette thèse, nous construisons une famille de contre-exemples lorsque l'obstacle n'est plus convexe. Enfin, dans un travail en collaboration avec S. Dipierro, nous étudions les propriétés qualitatives des solutions de systèmes d'équations elliptiques non-linéaires sous forme variationnelle. Nous y démontrons plusieurs résultats de monotonicité dans un cadre très général qui couvre à la fois le cas des opérateurs locaux et fractionnaires.
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https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01871676
Contributor : Julien Brasseur <>
Submitted on : Tuesday, September 11, 2018 - 10:36:35 AM
Last modification on : Tuesday, March 17, 2020 - 1:50:21 AM
Document(s) archivé(s) le : Wednesday, December 12, 2018 - 1:42:01 PM

Identifiers

  • HAL Id : tel-01871676, version 1

Citation

Julien Brasseur. Analysis of some nonlocal models in population dynamics. Functional Analysis [math.FA]. Université d'Aix-Marseille (AMU), 2018. English. ⟨tel-01871676⟩

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