Metric and probabilistic properties of metabelian groups
Propriétés métriques et probabilistes des groupes métabéliens
Résumé
In the fist part, we study the return probability of finitely generated metabelian groups. We give a characterization of such groups with large return probability in purely algebraic terms, namely the Krull dimension of the group. To do so, we establish, for metabelian groups, a variation of a famous embedding theorem of Kaloujinine and Krasner that respects this dimension. Along the way, we obtain lower and upper bounds on the return probability of metabelian groups according to their dimension.The second part of this thesis deals with isoperimetric profiles of locally compact compactly generated groups, that we use to characterize the existence of sequences of Følner couples. We generalize at a compact scale previous results of Tessera, in particular that they increase when going to a quotient group, so as to state in more generality a result from the first part, namely that the existence of Følner couples goes to a quotient group. We also prove that it goes to a closed subgroup. This allows to obtains a more self-contained proof of the main result of the first part of this thesis.The third part is a joint work with Kropholler in which we study the structure of soluble groups of infinite torsion-free rank with no ZwrZ. As a corollary, we obtain that a finitely generated soluble group with Krull dimension has finite torsion-free rank if and only if it has no ZwrZ.
Dans la première partie, on étudie la probabilité de retour des groupes métabéliens de type fini. On donne une caractérisation des tels groupes avec grande probabilité de retour en des termes purement algébriques, à l’aide de la dimension de Krull. Cela nécessite, pour les groupes métabéliens, une variation d’un théorème de Kaloujnine et Krasner qui respecte cette dimension. Au passage, on obtient des bornes inférieures et supérieures sur la probabilité de retour des groupes métabéliens en fonction de la dimension de Krull. La seconde partie concerne les profils isopérimétriques des groupes localement compacts compactement engendrés, qu’on utilise pour caractériser l’existence d’une suite de paires de Følner. On démontre que le profil isopérimétrique augmente lorsqu’on passe au quotient, avec des constantes indépendantes de l’échelle, améliorant une théorème de Tessera. Combinant les deux, on obtient que l’existence de suites de paires de Følner passe au quotient. On montre qu’elle passe au sous-groupe fermé, généralisant un résultat correspondant d’Erschler pour les groupes de type fini. Cela permet d’obtenir une preuve plus auto-contenue du théorème principal de la première partie.La troisième partie est un travail en commun avec Kropholler dans lequel on étudie la structure des groupes résolubles de rang sans torsion infini n’ayant pas de section isomorphe à ZwrZ. On en déduit qu’en présence d’une dimension de Krull, ce type de section est la seule obstruction à la finitude du rang sans torsion.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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