Corwin-Greenleaf multiplicity function for some nilradical co-compact Lie groups

Fonction de multiplicité de Corwin-Greenleaf pour certains groupes de Lie à nilradical co-compact

Anis Messaoud (1, 2)

1 Université de Sfax - University of Sfax
2 Département de Mathematiques [Sfax]

Let G ⊃ H be Lie groups, g ⊃ h their Lie algebras, and pr : g∗ → h∗ the natural projection. For coadjoint orbits O^G ⊂ g∗ and O^H ⊂ h∗, we denote by n(O^G, O^H) the number of H-orbits in the intersection O^G ∩pr^−1(O^H), which is known as the Corwin-Greenleaf multiplicity function Our goal in this thesis is the description of the Corwin-Greenleaf multiplicity function of Lie groups with co-compact nilpotent radical, in particular the semi direct products G = K x N of compacts groups K with nilpotent Lie groups N. The dual space ^G of G had been determined via Mackey’s theory and the geometric parametrization given by R. L. Lipsmann who had proved that there is a bijection between ^G and the admissible coadjoint orbit space of G. In the spirit of the orbit method due to Kirillov and Kostant, one expects that n(O^G, O^K) coincides with the multiplicity of τ ∈ ^K occurring in an irreducible unitary representation π of G when restricted to K, if π is attached to O^G and τ is attached to O^K. The first example treated in this work is the case of the compact extensions of the group IR^n, we investigate the relationship between n(O^G;O^K) and the multiplicity m(π; τ ) of τ in the restriction of π to K. If π is infinite dimensional and the associated little group is connected, we show that n(O^G;O^K) ≠ 0 if and only if m(π; τ ) ≠ 0. Furthermore, for K = SO(n), n > 2, we give a sufficient condition on the representations π and τ in order that n(O^G;O^K) = m(π; τ ). The second example regarded in this thesis is the case of the compact extensions of the Heisenberg group IHn, we give two sufficient conditions on O^G in order that n(O^G;O^K) =< 1 for any K-coadjoint orbit O^K ⊂ k*. For K = U(n), assuming furthermore that O^G and O^K are admissible and denoting respectively by π and τ their corresponding irreducible unitary representations, we also discuss the relationship between n(O^G;O^K) and the multiplicity m(π; τ ) of π in the restriction of τ to K. Especially, we study in Theorem 4 the case where n(O^G;O^K) ≠ m(π; τ ). This inequality is interesting because we expect the equality as the naming of the Corwin-Greenleaf multiplicity function suggests.

Soit G ⊃ H des groupes de Lie, g ⊃ h leurs algèbres de Lie, et pr: g * → h * la projection naturelle. Pour les orbites coadjoints O ^ G ⊂ g * et O ^ H ⊂ h *, nous notons n (O ^ G, O ^ H) le nombre d'orbites H dans l'intersection O ^ G ∩pr ^ -1 (O ^ H), connue sous le nom de fonction de multiplicité de Corwin-Greenleaf Notre but dans cette thèse est la description de la fonction de multiplicité de Corwin-Greenleaf des groupes de Lie avec un radical nilpotent co-compact, en particulier les produits semi-directs G = K x N des groupes compacts K avec des groupes de Lie nilpotents N.L'espace dual ^G de G a été déterminé par la théorie de Mackey et la paramétrisation géométrique donnée par RL Lipsmann qui a prouvé qu'il existait une bijection entre ^ G et l'espace des orbites coadjointes admissibles de G. Dans l'esprit de la méthode de l'orbite due à Kirillov et Kostant, on s'attend à ce que n (O ^ G, O ^ K) coïncide avec la multiplicité de τ ∈ ^ K apparaissant dans la restriction à K d'une représentation unitaire irréductible π de G, si π est attaché à O ^ G et τ est attaché à O ^ K. Le premier exemple traité dans ce travail est le cas des extensions compactes du groupe IR ^ n, nous étudions la relation entre n (O ^ G; O ^ K) et la multiplicité m (π; τ) de τ dans la restriction de π à K. Si π est de dimension infinie et que le petit groupe associé est connexe, on montre que n (O ^ G; O ^ K) ≠ 0 si et seulement si m (π; τ) ≠ 0. De plus, pour K = SO (n), n> 2, on donne une condition suffisante sur les représentations π et τ pour que n (O ^ G; O ^ K) = m (π; τ). Le deuxième exemple considéré dans cette thèse est le cas des extensions compactes du groupe Heisenberg IHn, nous donnons deux conditions suffisantes sur O ^ G pour que n (O ^ G; O ^ K) = <1 pour toute orbite K-coadjointe O ^ K ⊂ k *. Pour K = U (n), en supposant en outre que O ^ G et O ^ K sont admissibles et désignent respectivement par π et τ leurs représentations unitaires irréductibles correspondantes, nous discutons aussi de la relation entre n (O ^ G; O ^ K) et la multiplicité m (π; τ) de π dans la restriction de τ à K. En particulier, nous étudions dans le théorème 4 le cas où n (O ^ G; O ^ K) ≠ m (π; τ). Cette inégalité est intéressante parce que nous nous attendons à ce que l'égalité comme nom de la fonction de multiplicité Corwin-Greenleaf suggère.

Mots clés: Lie groups; representation theory; Corwin-Greenleaf multiplicity function

Mots clés: Fonction de multiplicité de Corwin-Greenleaf; théorie des représentations; groupes de Lie

Domaines: Mathématiques [math]

Anis Messaoud. Fonction de multiplicité de Corwin-Greenleaf pour certains groupes de Lie à nilradical co-compact. Mathématiques [math]. Laboratoire de Mathématiques Appliquées et Analyse Harmonique, 2018. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01839302v2⟩