Mathematical modeling and analysis of complex interaction network of Hodgkin- Huxley model, application in neuroscience

Analyse et Comportement Asymptotique de Systèmes Dynamiques Complexes. Application en Neuroscience

Aymen Balti (1)

1 LMAH - Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre

This thesis is devoted to mathematical modeling in neuroscience and mathematical analysis of coupled Hodgkin-Huxley (HH) systems. Two aspects were studied separately. The first focuses on the (HH) model when we take into account only the differential system (ODE), the second on the corresponding reaction-diffusion model (PDE). Therefore, firstly, a bifurcation analysis of the system is made, using the cur- rent of injection as a parameter. For this aim, we use a strong spectral method (called method of harmonic balance) to detect stable and unstable solutions. This help us in finding, in a more effective way, all the periodic solutions of the ODE (HH) system for various values of the parameter (i.e. current of injection). Secondly, we study the PDE-(HH) system as well as complex systems obtained by coupling many PDE-(HH). The existence and uniqueness of global solutions for initial functions from a Banach space are proved, and the proof of the existence of global attractor is also done. The last chapter gives a numerical study based on classical methods of discretization (finite differences and finite elements) coupled with a splitting method.

Ce travail de thèse est consacré `a la modélisation mathématique en neuroscience et `a l’analyse mathématique de systèmes couplés de type Hodgkin-Huxley (HH). La thèse s’articule sur deux volets. Le premier concerne le modèle (HH) sous sa forme différentielle (EDO), l’autre le modèle `a réaction-diffusion correspondant (EDP). Tout d’abord, une analyse de bifurcation par rapport `a un paramètre (ici le courant d’injection dans le modèle) est faite. Celle-ci utilise une méthode spectrale robuste (dite méthode de bilan harmonique) pour détecter les solutions stables et instables. Nous avons alors pu trouver, d’une manière plus efficace, toutes les solutions périodiques du système pour différentes va- leurs du paramètre courant d’injection. Ensuite, sur le deuxième volet, nous abordons l’analyse mathématique pour les systèmes des ́équations aux dérivées partielles non-linéaires couplées de type Hodgkin-Huxley. Nous utilisons alors la théorie des semi-groupes pour montrer l’existence et l’unicité des solutions dans différents espaces de Banach, et étudions leur comportement asymptotique pour montrer enfin l’existence d’un attracteur global. Cette deuxième partie est complétée par une étude numérique détaillée basée sur des méthodes classiques de discrétisation (différences finies et éléments finis) couplées avec une méthode de coupe (splitting).

Mots clés: Complex Dynamical Systems; Hodgkin Huxley Equations; Reaction Diffusion Systems; harmonic balance method

Mots clés: Système dynamique complexe; modèle de Hodgkin Huxley; systèmes de réaction-diffusion; bifurcation; bilan Harmonique.

Domaines: Systèmes dynamiques [math.DS]; Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Aymen Balti. Analyse et Comportement Asymptotique de Systèmes Dynamiques Complexes. Application en Neuroscience. Systèmes dynamiques [math.DS]. Normandie Université, 2016. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01830706⟩