. Dans, la densité de population et le flux sont donnés, par exemple sur {a}×? et sur {b} × ?. Cela signifie que les habitats ne sont pas séparés. Dans (CT edp ), les deux premières conditions de transmission traduisent la continuité de la densité et de son flux à l'interface, alors que les deux secondes modélisent (en un certain sens) la continuité (ou proportionnalité) de la dispersion et de son flux en ?. Notons que lorsque l'on considère différents types d'habitats, la réponse des individus à l'interface est importante pour le comportement du mouvement général, Ce chapitre est organisé de la façon suivante : Dans la section 5.2, on transforme le problème de transmission EDP en un problème de transmission opérationnel (P )

, on détaille nos hypothèses sur l'espace X et l'opérateur A ; puis on effectue quelques remarques sous forme de conséquences sur nos hypothèses. Dans la section 5, on fait tout d'abord une remarque importante dans laquelle, on définit les problèmes auxiliaires (P + ) et (P ? ) ainsi que la notion de solution classique du problème (P )

, unicité de la solution des problèmes (P + ) et (P ? ) Ensuite, on établit un théorème technique qui montre l'équivalence entre la résolution du problème (P ) et la résolution d'un système linéaire opérationnel à deux inconnues. Dans la section 5.5, on démontre le résultat principal

. Finalement, dans la section 5.6, comme conséquence du Théorème 5.5.1, on obtient le Corollaire 5.6.1 qui établit l'existence et l'unicité d'une solution u du problème

?. +. , ?. I. , ?. +. , and A. , Grâce à (H 3 ), p.437

M. Haase, Puisque 0 < ? A /2 < ?/2, L ? , L + et M génère des semi-groupes analytiques bornés (e xL ? ) x0 , (e xL + ) x0 et (e xM ) x0 , voir J De plus, d'après J, pp.71-437

J. Donc, H. Prüss, and . Sohr, 437, L ? + M et L + + M génère des semi-groupes analytiques bornés (e x(L ? +M ) ) x0 et (e x(L + +M ) ) x0

D. , Par conséquent, les hypothèses

W. Arendt, C. J. Batty, M. Hieber, and &. F. Neubrander, Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems, second Edition, Monographs in Mathematics, vol.96, 2011.

W. Arendt, S. Bu, and &. M. Haase, Functional calculus, variational methods and Liapunov's theorem, Archiv der Mathematik, vol.77, issue.1, pp.65-75, 2001.
DOI : 10.1007/PL00000467

A. V. Balakrishnan, Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them, Pacific Journal of Mathematics, vol.10, issue.2, pp.419-437, 1960.
DOI : 10.2140/pjm.1960.10.419

J. Bourgain, Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are unconditional, Arkiv f??r Matematik, vol.21, issue.1-2, pp.163-168, 1983.
DOI : 10.1007/BF02384306

D. L. Burkholder, A Geometrical Characterization of Banach Spaces in Which Martingale Difference Sequences are Unconditional, The Annals of Probability, vol.9, issue.6, pp.997-1011, 1881.
DOI : 10.1214/aop/1176994270

L. Cherfils, A. Miranville, and &. S. Zelik, On a generalized Cahn-Hilliard equation with biological applications, Discrete and continuous dynamical systems series B, pp.2013-2026, 2014.
DOI : 10.3934/dcdsb.2014.19.2013

D. S. Cohen and &. J. Murray, A generalized diffusion model for growth and dispersal in a population, Journal of Mathematical Biology, vol.30, issue.2, pp.237-249, 1981.
DOI : 10.1137/0130015

J. Coville, Contribution à l'étude d'équations non locales en dynamique des populations , Habilitation à diriger des recherches, pp.2-7373, 2015.

G. Da-prato and &. P. Grisvard, Somme d'opérateurs linéaires et équations différentielles opérationnelles, J. Math. Pures et Appl, vol.54, pp.305-387, 1975.

R. Dautray and &. Lions, Mathematical analysis and numerical methods for science and technology, 2000.
DOI : 10.1063/1.2810363

R. Dautray and &. Lions, Mathematical analysis and numerical methods for science and technology, Spectral Theory and Applications, vol.3, 2000.
DOI : 10.1063/1.2810363

&. A. Dore and . Venni, On the closedness of the sum of two closed operators, Mathematische Zeitschrift, vol.299, issue.2, pp.189-201, 1987.
DOI : 10.1007/BF01163654

G. Dore and &. A. Venni, functional calculus for sectorial and bisectorial operators, Studia Mathematica, vol.166, issue.3, pp.221-241, 2005.
DOI : 10.4064/sm166-3-2
URL : https://www.impan.pl/shop/publication/transaction/download/product/89577?download.pdf

A. Eltaïef, Étude d'équations différentielles abstraites du second et quatrième ordre sur la demi-droite, et applications, 2010.

K. Engel and &. R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Semigroup Forum, vol.63, issue.2, 2000.
DOI : 10.1007/s002330010042

A. Favini, R. Labbas, K. Lemrabet, S. Maingot, and &. H. Sidibé, Transmission Problem for an Abstract Fourth-order Differential Equation of Elliptic Type in UMD Spaces, Advances in Differential Equations, pp.1-2, 2010.

A. Favini, R. Labbas, S. Maingot, K. Lemrabet, and &. H. Sidibé, Resolution and Optimal Regularity for a Biharmonic Equation with Impedance Boundary Conditions and Some Generalizations, Discrete and Continuous Dynamical Systems, pp.11-12, 2013.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00950097

A. Favini, R. Labbas, S. Maingot, H. Tanabe, and &. A. Yagi, Complete Abstract Differential Equations of Elliptic Type in UMD Spaces, Funkcialaj Ekvacioj, vol.49, issue.2, pp.193-214, 2006.
DOI : 10.1619/fesi.49.193
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00971775

A. Favini, R. Labbas, S. Maingot, H. Tanabe, and &. A. Yagi, A Simplified Approach in the Study of Elliptic Differential Equations in UMD Spaces and New Applications, Funkcialaj Ekvacioj, vol.51, issue.2, pp.165-187, 2008.
DOI : 10.1619/fesi.51.165
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00995102

D. Gilbarg and &. N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Classics in Mathematics, 2001.

P. Grisvard, ??quations diff??rentielles abstraites, Extrait des Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, 4ème série, pp.311-395, 1969.
DOI : 10.24033/asens.1178

P. Grisvard, Spazi di tracce e applicazioni, Rendiconti di Matematica, vol.5, issue.4, pp.657-729, 1972.

M. Haase, The functional calculus for sectorial Operators, 2006.
DOI : 10.1007/3-7643-7698-8_2

T. Kato, Perturbation theory for linear operators, 1980.
DOI : 10.1007/978-3-662-12678-3

H. Komatsu, Fractional powers of operators, Pacific Journal of Mathematics, vol.19, issue.2, pp.285-346, 1966.
DOI : 10.2140/pjm.1966.19.285

R. Labbas, K. Lemrabet, S. Maingot, and &. A. Thorel, Generalized linear models for population dynamics in two juxtaposed habitats, 2017.

R. Labbas, S. Maingot, D. Manceau, and &. A. Thorel, On the regularity of a generalized diffusion problem arising in population dynamics set in a cylindrical domain, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.450, issue.1, pp.351-376, 2017.
DOI : 10.1016/j.jmaa.2017.01.026
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01342758

K. Limam, R. Labbas, K. Lemrabet, A. Medeghri, and &. M. Meisner, On Some Transmission Problems Set in a Biological Cell, Analysis and Resolution, Journal of Differential Equations, vol.259, issue.7, pp.2695-2731, 2015.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01138558

J. Lions and &. J. Peetre, Sur une classe d'espaces d'interpolation " , Publications mathématiques de l'I, pp.5-68, 1964.

A. Lunardi, Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems, 1995.
DOI : 10.1007/978-3-0348-0557-5

S. G. Mihlin, On the multipliers of Fourier integrals On Cahn-Hilliard type equations, Dokl. Akad. Nauk SSSR, N.S. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, vol.109, issue.15 9, pp.701-703, 1956.

F. L. Ochoa, A generalized reaction diffusion model for spatial structure formed by motile cells, Biosystems, vol.17, issue.1, pp.35-50, 1984.
DOI : 10.1016/0303-2647(84)90014-5

A. Okubo and &. S. Levin, Diffusion and ecological problems, Mahematical biology, 2010.

A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, 1983.
DOI : 10.1007/978-1-4612-5561-1

, J. Prüss, Evolutionary Integral Equations and Applications, 1993.

J. Prüss, Maximal regularity for evolution equations in L p -spaces, pp.1-39, 2002.

J. Prüss and &. H. Sohr, On operators with bounded imaginary powers in banach spaces, Mathematische Zeitschrift, vol.93, issue.1, pp.429-452, 1990.
DOI : 10.1007/978-1-4615-9970-8

J. Prüss and &. H. Sohr, Imaginary powers of elliptic second order differential operators in L p -spaces, Hiroshima Math. J, vol.23, issue.1, pp.161-192, 1993.

J. L. Rubio-de-francia, Martingale and integral transforms of banach space valued functions, Probability and Banach Spaces, pp.195-222, 1985.
DOI : 10.1007/BF02791068

E. Sinestrari, On the abstract Cauchy problem of parabolic type in spaces of continuous functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.107, issue.1, pp.16-66, 1985.
DOI : 10.1016/0022-247X(85)90353-1

H. Tanabe, Equations of evolution, 1979.

H. , Interpolation theory, function Spaces, differential Operators, North- Holland publishing company, 1978.

I. I. , Vrabie, C 0 -semigroups and applications, 2003.