M. Soit and R. Un, On dit que R est u-clos (pour universclos ) si il contient l'ensemble ?(M n ) = {(m, . . . , m) ? M n /m ? M } de chaque M n et est clos par combinaisons booléennes, produits cartésiens, et sous les projections p i

S. Si, on appellera ensemble u-clos engendré par S, et on notera R(S), le plus petit ensemble u-clos contenant S

B. Un-univers-est-un-ensemble, U ) appelé la base de l'univers muni d'un ensemble u-clos R(U )

. La-donnée-d-'un-groupoïde and . Concret, ?) dont les groupes d'isomorphismes G b sont triviaux est équivalente à la donnée d'une famille uniformément dénissable d'ensembles (?(b)) b?ObG , et d'une famille uniformément dénissable de bijections (?(b, b ) : ?(b) ? ?(b )) b,b ?ObG telles que ?(b, b)

C. Un-groupoïde, G , ?) avec un seul objet b est une action de groupe dénissable : le groupe dénissable G b agit dénissablement sur l'ensemble dénissable ?(b)

. Dans, il est construit, pour tout groupoïde concret G dans un modèle M d'une théorie T , une sorte imaginaire interne à T , qui est une expansion de T par une sorte S qui est interne à T

U. Soit-(-g,-?-)-un-groupoïde-concret-dans-un-univers, Alors il existe une extension d'univers ? : U ? V telle que : 1. ?(U ) soit stablement plongé dans V ; 2. l'univers induit par V sur ?(M U ) soit égal à ?(U )

M. U. On-ajoute-donc-une-sorte-s-g-À, R. Qu-'une-relation, U. ×m-n, and . ×morg, Pour construire la sorte S G , on considère une copie de l'un des ensembles ?(b 0 ) pour b 0 ? ObG (obtenue par exemple en prenant le produit cartésien de ?(b 0 ) par un ensemble à un élément n'appartenant pas à M U ) ; on note s a l'élément de S G qui correspond de cette manière à l'élément a de ?(b 0 ) On procède de même pour dénir C comme une copie de l'ensemble b?ObG MorG (b 0 , b), en notant c d pour d ? b?ObG MorG (b 0 , b) ses éléments. On dénit alors la relation R de la manière suivante : R(s x , y, c z ) si et seulement si z ? MorG (b 0 , b) pour un b ? ObG , et y = ?(c z )(s x ) En particulier, pour un z ? MorG (b 0 , b) xé, la relation R(s x , y, c z )

. En, Supposons que G 1 ? G 2 et G 2 ? G 3 , ceci étant témoigné respectivement par les groupoïdes G et H . On dénit alors le groupoïde G ? H dont les objets sont ObG 1 ObG 2 ObG 3 et les morphismes sont les paires (g, h) ? MorG (b, c) × MorH (a, b), les paires (h, g) ? MorH (b, a) × MorG (c, b), et les morphismes g ? MorG (c, c ) et h ? MorH (a, a ) pour tous objets a, a ? ObG 1 , b ? ObG 2 et c, c ? ObG 3 . La composition des morphismes est dénie de la manière suivante : si g, g ? MorG , leur composée est la composée de g et g dans G si elle existe ; de même si h, h ? MorH ; si (g, h) ? MorG (b, c)×MorH (a, b) et g ? MorG, la composée g ?(g, h) est égale à (gg , h) ; si (g, h) ? MorG (b, c)×MorH (a, b) et (h

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