Groundwater pollution from agricultural activities : coupling hydrogeological and economical approaches

Pollution agricole des ressources en eau : approches couplées hydrogéologique et économique

Eloïse Comte (1)

1 MIA - Mathématiques, Image et Applications - EA 3165

This work is devoted to water ressources pollution control. We especially focus on the impact of agricultural fertilizer on water quality, by combining economical and hydrogeological modeling. We define, on one hand, the spatio-temporal objective, taking into account the trade off between fertilizer use and the cleaning costs. On an other hand, we describe the pollutant transport in the underground (3D in space) by a nonlinear system coupling a parabolic partial differential equation (reaction-advection-dispersion) with an elliptic one in a bounded domain. We prove the global existence of the solution of the optimal control problem. The uniqueness is proved by asymptotic analysis for the effective problem taking into account the low concentration fertilizer. We define the optimal necessary conditions and the adjoint problem associated to the model. Some analytical results are provided and illustrated. We extend these results within the framework of game theory, where several players are involved, and we prove the existence of a Nash equilibrium. Finally, this work is illustrated by numerical results (2D in space), produced by coupling a Mixed Finite Element scheme with a nonlinear conjugate gradient algorithm.

Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution des ressources en eau. On s’intéresse plus particulièrement à l’impact des engrais d’origine agricole sur la qualité de l’eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coûts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Nous prouvons l’existence globale d’une solution au problème de contrôle optimal. L’unicité est quant à elle démontrée par analyse asymptotique pour le problème effectif tenant compte de la faible concentration d’engrais en sous-sol. Nous établissons les conditions nécessaires d’optimalité et le problème adjoint associé à notre modèle. Quelques exemples analytiques sont donnés et illustrés. Nous élargissons ces résultats au cadre de la théorie des jeux, où plusieurs joueurs interviennent, et prouvons notamment l’existence d’un équilibre de Nash. Enfin, ce travail est illustré par des résultats numériques (2D en espace), obtenus en couplant un schéma de type Éléments Finis Mixtes avec un algorithme de gradient conjugué non linéaire.

Mots clés: Partial differential equations; Optimal control; Nonlinear coupled systems; Parabolic partial differential equation and elliptic partial differential equation; Asymptotic analysis; Finite Element method; Numerical simulations

Mots clés: Équations aux dérivées partielles; Contrôle optimal; Systèmes couplés non-linéaires; Équations aux dérivées partielles paraboliques et équations aux dérivées partielles elliptiques; Analyse asymptotique; Schéma Éléments Finis; Simulations numériques

Domaines: Optimisation et contrôle [math.OC]

Eloïse Comte. Pollution agricole des ressources en eau : approches couplées hydrogéologique et économique. Optimisation et contrôle [math.OC]. Université de La Rochelle, 2017. Français. ⟨NNT : 2017LAROS029⟩. ⟨tel-01804984⟩