Double Regularization of Polyzetas in Multi-negative Indices and Rational Extensions

Double régularisation des polyzêtas en les multi-indices négatifs et extensions rationnelles

Quoc Hoan Ngo (1)

1 LIPN - Laboratoire d'Informatique de Paris-Nord

In this memoir are studied the polylogarithms and the harmonic sums at non-positive (i.e. weakly negative) multi-indices. General results about these objects in relation with Hopf algebras are provided. The technics exploited here are based on the combinatorics of non commmutative generating series relative to the Hopf φ−Shuffle algebra. Our work will also propose a global process to renormalize divergent polyzetas. Finally, we will apply these ideas to non-linear dynamical systems with singular inputs.

Dans ce travail, nous nous intéressons aux problèmes relatifs aux polylogarithmes et aux sommes harmoniques pris en les multiindices négatifs(au sens large, appelés dans la suite non-positifs) et en les indices mixtes. Notre étude donnera des résultats généraux sur ces objets en relation avec les algèbres de Hopf. Les techniques utilisées sont basées sur la combinatoire des séries formelles non commutatives, formes linéaires sur l’algèbre de Hopf de φ−Shuffle. Notre travail donnera aussi un processus global pour renormaliser les polyzetâs divergents. Enfin, nous appliquerons les structures mises en évidence aux systèmes dynamiques non linéaires avec entrées singulières.

Mots clés: Φ−shuffle Hopf algebras; Harmonic sums; Polylogarithms; Non-linear differential systems

Mots clés: Algèbre de Hopf de φ−shuffle; Sommes harmoniques; Polylogarithmes; Différentiation fonctionnelle

Domaines: Analyse numérique [cs.NA]; Théorie des nombres [math.NT]; Analyse fonctionnelle [math.FA]

Quoc Hoan Ngo. Double régularisation des polyzêtas en les multi-indices négatifs et extensions rationnelles. Analyse numérique [cs.NA]. Université Sorbonne Paris Cité, 2016. Français. ⟨NNT : 2016USPCD023⟩. ⟨tel-01804209⟩