Self-stabilizing processes in a multi-well landscape

Processus auto-stabilisants dans un paysage multi-puits

Julian Tugaut (1)

1 IECL - Institut Élie Cartan de Lorraine

Self-stabilizing processes are defined as the solutions of stochastic differential equations which drift term contains the gradient of a potential and a term nonlinear in the sense of McKean which attracts the process to its own law distribution. There are many results if the landscape is convex. The purpose of this work is to extend these in the general case especially when the landscape contains contains several wells. Essential differences are found.The first chapter proves the strong existence of a solution. The second one deals with the probability measure of the solution. Particularly, the existence and the non-uniqueness of the stationary measures are highlighted under weak assumptions. Chapter three and four are assigned to the asymptotic analysis in the small noise limit of these measures.Chapter five connects the self-stabilizing process and some particle systems via a « propagation of chaos ». It is thus possible to translate some results from the particle systems to the non-markovian process and reciprocally.Chapter seven is used to study the long time behavior. In one hand, a convergence's result is provided in a simple case. In the other hand, a large deviations principle is highlighted by using the results of Freidlin and Wentzell.

Les processus auto-stabilisants sont définis comme des solutions d'équations différentielles stochastiques dont le terme de dérive contient à la fois le gradient d'un potentiel ainsi qu'un terme non-linéaire au sens de McKean qui attire le processus vers sa propre loi de distribution. On dispose de nombreux résultats lorsque l'environnement est convexe. L'objet de ce travail est de les étendre autant que possible au cas général notamment lorsque le paysage contient plusieurs puits. Des différences fondamentales sont constatées.Le premier chapitre prouve l'existence d'une solution forte. Le second s'intéresse aux lois de probabilités d'une telle solution. En particulier, l'existence et la non-unicité des mesures stationnaires sont mises en évidence sous des hypothèses faibles. Les chapitres trois et quatre sont affectés au comportement de ces mesures lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0.Le chapitre cinq met en relation le processus auto-stabilisant avec des systèmes particulaires via une « propagation du chaos ». Il est ainsi possible de transposer certains résultats du système de particules sur le processus non-markovien et réciproquement. Le chapitre six est dédié au dénombrement exact des mesures stationnaires.Le chapitre sept est employé pour l'étude du comportement en temps long. D'une part, un résultat de convergence dans un cas simple est fourni. D'autre part, un principe de grandes déviations est mis en évidence par l'utilisation des résultats de Freidlin et Wentzell.

Mots clés: Self-stabilizing processes; Stationary measures; Perturbed dynamical system; McKean-Vlasov equation; Exit time

Mots clés: Processus auto-stabiliants; Mesures stationnaires; Équation de McKean-Vlasov; Temps de sortie; Équations différentielles stochastiques; Systèmes dynamiques

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Julian Tugaut. Processus auto-stabilisants dans un paysage multi-puits. Mathématiques générales [math.GM]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2010. Français. ⟨NNT : 2010NAN10047⟩. ⟨tel-01748560v1⟩