Approximation of the local time and integration by regularization

Approximation du temps local et intégration par régularisation

Blandine Berard Bergery (1)

1 IECL - Institut Élie Cartan de Lorraine

The setting of this work is the integration by regularization of Russo and Vallois. The first part studies schemes of approximation of the local time of continuous semimartingales. If X is a reversible diffusion, the convergence of a first schema of approximation to the local time of X is proven, in probability uniformly on the compact sets. From this first schema, two other schemas of approximation for the local time are found. One converges in the semi-martingale case, the other in the Brownian case. Moreover, in the Brownian case, we estimate the rate of convergence in L^2(Omega) and a result of almost sure convergence is proven. The second part study the forward integral and the generalized quadratic variation, which have been defined by convergence of families of integrals, in probability uniformly on the compacts sets. In the case of Hölder processes, the almost sure convergence is proven. Finally, the second order convergence is studied in many cases.

Cette thèse s'inscrit dans la théorie de l'intégration par régularisation de Russo et Vallois. La première partie est consacrée à l'approximation du temps local des semi-martingales continues. Si X est une diffusion réversible, on montre la convergence d'un premier schéma d'approximation vers le temps local de X, en probabilité uniformément sur les compacts. De ce premier schéma, on tire deux autres schémas d'approximation du temps local, l'un valable pour les semi-martingales continues, l'autre pour le mouvement Brownien standard. Dans le cas du mouvement Brownien, une vitesse de convergence dans L^2(Omega) et un résultat de convergence presque sûre sont établis. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'intégrale "forward" et à la variation quadratique généralisée, définies par des limites en probabilité de famille d'intégrales. Dans le cas Höldérien, la convergence presque sûre est établie. Enfin, on montre la convergence au second ordre pour une série de processus particuliers.

Mots clés: Variation quadratique; Vitesse de convergence; Convergence au second ordre; Théorème de Fubini stochastique; Temps local (probabilités); Intégrales stochastiques; Semimartingales (mathématiques)

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Blandine Berard Bergery. Approximation du temps local et intégration par régularisation. Mathématiques générales [math.GM]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2007. Français. ⟨NNT : 2007NAN10058⟩. ⟨tel-01748283v1⟩